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Inéquation du premier degré
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques,...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un...)

Une inéquation (Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation,...) du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) à une inconnue est une inéquation où l'inconnue x apparait avec le degré 1 ou 0. Plus généralement, on appelle inéquation du premier degré toute inéquation se ramenant à une inéquation du type précédent par des opérations algébriques simples (voir inéquation (mathématiques élémentaires)

Exemples d'inéquations du premier degré:

  • 3a + 2 \leq 5 d'inconnue a
  • \frac{u-3}{2} + 4 > 5u d'inconnue u
  • x^2 + 3x - 5 \geq (x - 9)(x+3) d'inconnue x

Résolution

Une inéquation du premier degré se résout en isolant (Un isolant est un matériau qui permet d'empêcher les échanges d'énergie entre deux systèmes. On distingue : les isolants électriques, les isolants thermiques, les isolants phoniques et les isolants mécaniques. Le...) l'inconnue dans un des membres de l'inégalité à l'aide des règles élémentaires

Exemple

Un club de sport propose 3 types de paiement:

  • le forfait mensuel de 50 euros
  • une carte de 10 entrées pour 35 euros et les entrées supplémentaires coûtent 4 euros
  • un prix à l'entrée de 4 euros

1) Pour quel nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de séances dans le mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.), le forfait mensuel est-il plus avantageux que les entrées à l'unité ?

soit x le nombre d'entrées, le prix de x entrées à l'unité est 4x. Il s'agit de résoudre 50 < 4x. Cette inéquation est équivalente à
\frac{50}{4} < x on a divisé les deux membres de l'inégalité par 4.
Donc le forfait mensuel est plus avantageux que les entrées à l'unité à partir de 13 entrées et au-delà

2) Pour quel nombre d'entrées est-il plus avantageux d'acheter une carte de 10 entrées que de payer l'abonnement mensuel ?

Pour moins de 10 entrées, c'est évident que la carte est plus avantageuse que l'abonnement, soit x le nombre d'entrées (x plus grand que 10), le prix de x entrées avec une carte est alors de 35 + 4(x - 10). Il s'agit de résoudre 35 + 4(x - 10) < 50. Cette inéquation est successivment équivalent aux inéquation suivantes:
4x - 5 < 50 opérations algébriques sur le premier membre de l'inéquation
4x < 55 on ajoute 5 aux deux membres de l'inéquation
x < 13,75 on divise chaque membre de l'inéquation par 4
l'achat d'une carte est plus avantageux que l'abonnement mensuel si le nombre d'entrées ne dépasse pas 13 .

Cas général

Une inéquation du premier degré se ramène toujours à une des cas suivants

ax + b < 0\ ou \ ax + b \leq 0
  • si a > 0, l'inéquation équivaut à x < \frac{-b}{a} \ ou\ x \leq \frac{-b}{a}
  • si a < 0, l'inéquation équivaut à x > \frac{-b}{a} \ ou\ x \geq \frac{-b}{a}
  • si a = 0, l'inéquation devient :b < 0\ ou\  b \leq 0. Inégalité indépendante de x et qui
    • ou bien est toujours vraie alors l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des solutions est R
    • ou bien est toujours fausse alors l'inéquation n'a pas de solution.

Ensemble des solutions

On présente souvent l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle de R.

  • x < c est caractéristique de l'intervalle ]- \infty;c[
  • x ≤ c est caractéristique de l'intervalle ]- \infty;c]
  • x > c est caractéristique de l'intervalle ] c;+\infty[
  • x ≥ c est caractéristique de l'intervalle [c;+\infty[

les deux autres intervalles que l'on est amené à rencontrer sont {} ou \emptyset, et R

Interprétation graphique et étude de signe

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel a non nul, la représentation graphique de la droite d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) y = ax + b confirme et illustre les résultats précédents.

pour a > 0 pour a < 0
  • Si a > 0, la droite monte et ax + b est d'abord négatif (pour x < - b/a) puis positif
  • Si a < 0, la droite descend et ax + b est d'abord positif (pour x < - b/a) puis négatif
  • ax + b s'annule pour x = - b/a qui s'appelle la racine de ax + b

Ce qui fait dire que, pour tout a non nul, ax + b est du signe de a après sa racine

On résume ce résultat dans un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de signe qui indique, suivant les valeurs de x, le signe de ax + b. La première ligne du tableau positionne x sur la droite des réels, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle...) renseigne sur le signe de ax + b.

  • pour a > 0
valeurs de x
-\infty -b/a +\infty
signe de ax + b
- 0 +
  • pour a < 0
valeurs de x
-\infty -b/a +\infty
signe de ax + b
+ 0 -

Système de plusieurs inéquations du premier degré

Un système de deux inéquations du premier degré peut se réduire à la forme suivante:

\left\{\begin{matrix} ax+b <0\\et\\ cx + d < 0\end{matrix}\right.

Résoudre ce système c'est trouver l'ensemble des réels x vérifiant à la fois la première inéquation et la seconde inéquation.

Méthode: il suffit de résoudre séparément chaque inéquation. On obtient alors pour chaque inéquation un intervalle solution I1 pour la première inéquation, I2 pour la seconde inéquation. l'ensemble solution du système est l'intersection des deux intervalles, c'est un intervalle.

Exemple: Résoudre le système \left\{\begin{matrix} 2x + 3 < x + 50\\et\\x^2 +3x \leq (x+4)(x+5)\end{matrix}\right.

  • La première inéquation est équivalente aux inéquations suivantes :
2x < x + 47 on a retranché 3 à chaque membre de l'inéquation
x < 47 on a retranché x à chaque membre de l'inéquation
L'ensemble des solutions de la première inéquation est I_1 = ]-\infty ; 47[
  • La seconde inéquation est équivalente aux inéquations suivantes :
x ^2 + 3x \leq x^2 + 9x + 20 on a développé et réduit le second membre
0\leq 6x + 20 on a retranché x2 + 3x à chaque membre
x\geq -10/3 on a utilisé la règle du signe de ax + b
L'ensemble des solutions de la seconde inéquation est I_2 = [-10/3 ; + \infty[

L'ensemble des solutions du système est l'intervalleI_1 \cap I_2 = [-10/3 ; 47[

Remarque 1: il existe parfois des systèmes d'inéquations : \left\{\begin{matrix} ax+b <0\\ou\\ cx + d < 0\end{matrix}\right. dont les solutions sont les réels x vérifiant l'une ou l'autre des deux inéquation (il suffit que l'une au moins des inéquations soit vérifiée). L'ensemble des solutions sera alors l'union des ensembles solutions.
La première forme de système étant la plus courante, il est fréquent que le mot et n'apparaisse plus. En revanche, pour un système de la deuxième forme, le mot ou est indispensable.

Remarque 2: on peut concevoir selon le même principe un système de trois, quatre, ... n inéquations.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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