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Inéquation du second degré
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Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est...)
Probabilité
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...)

Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut, à l'aide d'opérations élémentaires, se mettre sous la forme ax^2 + bx + c > 0 \mbox{ ou } ax^2 + bx + c \geq 0a est un réel non nul

Résolution

Pour résoudre une telle inéquation, il faut étudier le signe de ax2 + bx + c.

Il faut commencer par déterminer les racines réelles de ax2 + bx + c. Les racines réelles sont les solutions réelles de l'équation du second degré ax2 + bx + c = 0. On distingue trois cas de figure

  • aucune racine
  • une racine double (-b/2a)
  • deux racines (x1 et x2).

L'étude du signe peut se faire par factorisation de l'expression du second degré et tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de signe.

Ou bien, on peut utiliser les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens...) graphiques suivantes :


Position d'une parabole par rapport à l'axe des x pour a > 0, selon le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de racines.


Position d'une parabole par rapport à l'axe des x pour a < 0, selon le nombre de racines.

De ces observations, on peut tirer la règle suivante :

le polynôme ax2 + bx + c est du signe de a sauf entre les racines.

Exemples

  • x2 − 2x + 5 a pour discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de...) - 16, il ne possède pas de racine. le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) devant x² est 1, il est positif. Donc x2 − 2x + 5 est toujours positif.
  • 50 − 2x2 possède deux racines 5 et - 5. Le coefficient devant x² est - 2, il est négatif donc 50 − 2x2 est négatif sauf entre - 5 et 5. On peut alors résumer l'étude de signe dans un tableau de signes.
valeurs de x
-\infty - 5 + 5 +\infty
signe de 50 - 2x²
- 0 + 0 -

Exemples d'inéquations

  • 1) Pour un périmètre de 12 cm, quelles sont les dimensions du rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) tel que l'aire soit supérieure à 5 cm² ?
On appelle x, une des dimensions du rectangle. Puisque le demi-périmètre est 6 cm alors l'autre dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) est 6 - x. L'aire du rectangle est donc x(6 - x). le problème revient à résoudre, dans l'intervalle [0 ; 6], l'inéquation x(6 − x) > 5. cette inéquation est successivement équivalent à
x2 + 6x > 5 on a développé et ordonné le premier membre
x2 + 6x − 5 > 0 on a retranché 5 à chaque membre de l'inégalité
Le polynôme x2 + 6x − 5 possède deux racines (discriminant = 16, racines = 1 et 5. Le coefficient devant x est -1, il est négatif donc le polynôme est négatif sauf entre 1 et 5. On souhaite que le polynôme soit strictement positif, il faut donc prendre x dans l'intervalle ]1 ; 5[
  • 2) Résoudre, dans ]0 ; 6[, l'inéquation x(6 - x) \leq 2x - 5.
L'inéquation est équivalente à 0 \leq x^2 - 4x - 5. Ce polynôme possède deux racines -1 et 5. Le coeficient devant x² est positif. Le polynôme est positif sauf entre - 1 et 5. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des solutions est donc l'intervalle [5 ; 6[.
  • 3) Résoudre, dans R, l'inéquation 2x2 + 25 > 0
Le polynôme 2x2 + 25 ne possède pas de racine, son coefficient devant x² est 2, il est positif. Le polynôme est donc toujours strictement positif quelle que soit la valeur de x. L'ensemble des solutions est donc R.
  • 4) Résoudre, dans R, l'inéquation x^2 + 25 \leq 0 .
Le polynôme n'admet pas de racine, le coefficient devant x² est positif, le polynôme est donc toujours positif, il n'est jamais négatif. L'ensemble des solutions est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).
  • 5) Résoudre, dans R, l'inéquation (x + 5)2 > 0 .
Le polynôme admet une racine double (- 5). Le coefficient devant x² est positif, donc le polynôme est positif sauf en - 5 où il s'annule. L'ensemble des solutions est donc ]-\infty; -5[ \cup ]-5 ; + \infty[
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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