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Inéquation du second degré
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
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Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...)

Une inéquation (Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent vraie l'inégalité.) du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) est une inéquation qui peut, à l'aide d'opérations élémentaires, se mettre sous la forme ax^2 + bx + c > 0 \mbox{ ou } ax^2 + bx + c \geq 0a est un réel non nul

Résolution

Pour résoudre une telle inéquation, il faut étudier le signe de ax2 + bx + c.

Il faut commencer par déterminer les racines réelles de ax2 + bx + c. Les racines réelles sont les solutions réelles de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui y...) du second degré ax2 + bx + c = 0. On distingue trois cas de figure

  • aucune racine
  • une racine double (-b/2a)
  • deux racines (x1 et x2).

L'étude du signe peut se faire par factorisation de l'expression du second degré et tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de signe.

Ou bien, on peut utiliser les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très...) graphiques suivantes :


Position d'une parabole par rapport à l'axe des x pour a > 0, selon le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de racines.


Position d'une parabole par rapport à l'axe des x pour a < 0, selon le nombre de racines.

De ces observations, on peut tirer la règle suivante :

le polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) ax2 + bx + c est du signe de a sauf entre les racines.

Exemples

  • x2 − 2x + 5 a pour discriminant - 16, il ne possède pas de racine. le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace...) devant x² est 1, il est positif. Donc x2 − 2x + 5 est toujours positif.
  • 50 − 2x2 possède deux racines 5 et - 5. Le coefficient devant x² est - 2, il est négatif donc 50 − 2x2 est négatif sauf entre - 5 et 5. On peut alors résumer l'étude de signe dans un tableau de signes.
valeurs de x
-\infty - 5 + 5 +\infty
signe de 50 - 2x²
- 0 + 0 -

Exemples d'inéquations

  • 1) Pour un périmètre (Le périmètre (du grec ancien : perimetros, mesure du tour) désigne la longueur totale du contour d'une surface. Le périmètre désigne aussi la ligne de forme...) de 12 cm, quelles sont les dimensions du rectangle tel que l'aire soit supérieure à 5 cm² ?
On appelle x, une des dimensions du rectangle. Puisque le demi-périmètre est 6 cm alors l'autre dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) est 6 - x. L'aire du rectangle est donc x(6 - x). le problème revient à résoudre, dans l'intervalle [0 ; 6], l'inéquation x(6 − x) > 5. cette inéquation est successivement équivalent à
x2 + 6x > 5 on a développé et ordonné le premier membre
x2 + 6x − 5 > 0 on a retranché 5 à chaque membre de l'inégalité
Le polynôme x2 + 6x − 5 possède deux racines (discriminant = 16, racines = 1 et 5. Le coefficient devant x est -1, il est négatif donc le polynôme est négatif sauf entre 1 et 5. On souhaite que le polynôme soit strictement positif, il faut donc prendre x dans l'intervalle ]1 ; 5[
  • 2) Résoudre, dans ]0 ; 6[, l'inéquation x(6 - x) \leq 2x - 5.
L'inéquation est équivalente à 0 \leq x^2 - 4x - 5. Ce polynôme possède deux racines -1 et 5. Le coeficient devant x² est positif. Le polynôme est positif sauf entre - 1 et 5. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des solutions est donc l'intervalle [5 ; 6[.
  • 3) Résoudre, dans R, l'inéquation 2x2 + 25 > 0
Le polynôme 2x2 + 25 ne possède pas de racine, son coefficient devant x² est 2, il est positif. Le polynôme est donc toujours strictement positif quelle que soit la valeur de x. L'ensemble des solutions est donc R.
  • 4) Résoudre, dans R, l'inéquation x^2 + 25 \leq 0 .
Le polynôme n'admet pas de racine, le coefficient devant x² est positif, le polynôme est donc toujours positif, il n'est jamais négatif. L'ensemble des solutions est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).
  • 5) Résoudre, dans R, l'inéquation (x + 5)2 > 0 .
Le polynôme admet une racine double (- 5). Le coefficient devant x² est positif, donc le polynôme est positif sauf en - 5 où il s'annule. L'ensemble des solutions est donc ]-\infty; -5[ \cup ]-5 ; + \infty[
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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