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Limite (mathématiques élémentaires)
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique...)

La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières premières (on...) abstraite. Pour les mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est dédiée à ce projet : Projet/Mathématiques élémentaires.), il convient de distinguer une limite en un point (Graphie) réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en +\infty ou -\infty (pour une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une autre. Et si...) ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui...).

Les limites servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la...) et de dérivabilité.

Pour une présentation générale, plus complète et plus abstraite, se référer à Limite (mathématiques).

Limite d'une fonction en un point a

On s'intéresse ici à une fonction définie sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) Df et à un réel a situé au voisinage de Df, c'est-à-dire un réel a tel que Df contienne un intervalle de la forme ]a, a + h] ou [a - h, a[ ou [a - h, a + h] privé de a.

Ainsi, lorsque Df est un intervalle (ouvert ou fermé) dont les bornes sont b et c, on peut chercher une limite en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point de l'intervalle fermé [b, c]. On peut aussi, par exemple, chercher la limite de la fonction x \mapsto 1/x en tout point de \R. En revanche, on ne cherchera pas de limite en 0 pour les fonction x \mapsto \sqrt{x^2-1} ou x \mapsto \sqrt{x^4-x^2} car 0 n'est pas au voisinage du domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.).

Limites finies

Si f\,\! est une fonction numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) et a\,\! un point de \R, on dira que le réel l\,\! est la limite de f\,\! en a\,\! si :

  • intuitivement : f(x)\,\! se rapproche de l\,\! à mesure que x\,\! se rapproche de a\,\! ;
  • plus rigoureusement, pour tout " écart de tolérance " \epsilon > 0\,\! on peut trouver un " écart de confiance " \delta > 0\,\! tel que, dès que x\,\! est proche de a\,\! à \delta\,\! près, alors f(x)\,\! est proche de l\,\! à \epsilon\,\! près :

a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon

Autrement dit, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de l\,\! que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent...) de a\,\!.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to a}f(x) = l\,\!.

Image:LimitDefinition.png

Limites infinies

Il se peut aussi qu'au point a\,\! la fonction f\,\! n'ait pas de limite finie mais une limite infinie : à mesure que l'on se rapproche de a\,\! la valeur de f\,\! devient de plus en plus " proche " de +\infty\,\! (respectivement -\infty\,\!), c'est-à-dire de plus en plus grande (resp. plus grande en valeur absolue mais avec un signe négatif). La formulation mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) est alors la suivante : pour tout " seuil de tolérance " M\,\! on peut trouver un " écart de confiance " \delta > 0\,\! tel que, dès que x\,\! est proche de a\,\! à \delta\,\! près, alors f(x)\,\! est plus grande (resp. plus petite) que M\,\! :

a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

(resp. a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \leq M)

(illustration 2)

Autrement dit, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de \pm\infty\,\! que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour de a\,\!.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\! (ou \lim_{x \to a}f(x) = -\infty\,\!).

Limites à gauche, à droite

Il arrive que le comportement local de la fonction f\,\! soit différent " à gauche " de a\,\! (soit pour les x<a\,\!) et " à droite " de a\,\! (soit pour les x>a\,\!). Par exemple, une fonction peut admettre une limite à droite mais pas à gauche, ou alors admettre deux limites différentes de chaque côté.

On est donc amené à introduire les notions de limite à droite et à gauche ; la seule différence avec les limites " normales " expliquées ci-dessus est qu'on impose la proximité de f(x)\,\! avec l\,\! ou \pm\infty\,\! seulement d'un seul côté de a\,\!. Les définitions et notations correspondantes deviennent donc :

  • pour la limite à gauche :
\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\! lorsque
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon
\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\! lorsque
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M
  • pour la limite à droite :
\lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\! lorsque
a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon
\lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\! lorsque
a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

Les notions de limites à droite et à gauche sont moins restrictives que la notion classique de limite " bilatérales " : une fonction peut avoir une limite à gauche et une limite à droite sans avoir de limite. En fait on a les propriétés suivantes :

  • pour une fonction non définie en a : une fonction a une limite en a \,\! si et seulement si elle a une limite à gauche l_g\,\! et une limite à droite l_d\,\! et qu'elles sont égales : l_g=l_d\,\!
  • pour une fonction définie en a : une fonction a une limite en a \,\! si et seulement si elle a une limite à gauche l_g\,\! et une limite à droite l_d\,\! et qu'elles sont égales toutes deux à f(a) : l_g=l_d=f(a)\,\!

Exemple:

Pour la fonction ci-dessus, on a:

f(0) = − 1
\lim_{x \to 0-} f(x) = 1
\lim_{x \to 0+} f(x) = -1

Absence de limite en un point

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite du tout en un point.

Par exemple, sin(1 / x) n'a pas de limite en 0.

Limite d'une fonction en ±∞

On s'intéresse ici, non plus au comportement local d'une fonction en un point réel fini mais à son comportement " aux limites ", soit quand x\,\! croît indéfiniment (limite en +\infty) soit quand x\,\! décroît indéfiniment (limite en -\infty). Cette étude ne concerne donc que des fonctions définies au voisinage de \pm \infty, c'est-à-dire des fonctions dont l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est...) contient un intervalle de la forme [M, + \infty[ ou ]- \infty, m].

On peut noter que dans ce cadre la notion de limite à droite ou à gauche n'a plus de sens ; en fait les limites en +\infty sont toujours des limites à gauche et les limites en -\infty sont toujours des limites à droite.

Limites finies

Dire que la fonction f\,\! admet la limite finie l\,\! en +\infty revient à dire que f(x) \,\! se rapproche de l\,\! à mesure que x\,\! grandit (ou " tend vers plus l'infini ").

Mathématiquement, cela se traduit par le fait que pour tout " écart de tolérance " \epsilon>0 \,\! on peut donner un " seuil de confiance " M>0 \,\! au-delà duquel notre fonction restera dans l'intervalle de tolérance, de centre l\,\! et de rayon \epsilon \,\! : x \geq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon

Autrement dit, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de l\,\! que souhaité à partir d'un certain seuil, si lointain soit-il.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!.

Tout ceci s'adapte facilement dans le cas d'une limite en -\infty : on dit que f(x)\,\! tend vers l\,\! quand x tend vers -\infty si pour un écart \epsilon > 0 \,\! on peut trouver un seuil M < 0 \,\! tel que : x \leq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon et on écrira alors \lim_{x \to -\infty}f(x) = l \,\!.

Exemple:

Image:Inversa liminf.png

Ici, pour ε aussi petit qu'on veut, il existe M à partir duquel la fonction reste entre 0 + ε et 0 − ε. La fonction tend donc vers 0.

Limites infinies

L'idée intuitive d'une limite infinie est: pour x suffisamment grand, f(x) peut devenir aussi grand que l'on veut.

Absence de limite en l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...)

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite en l'infini. La fonction sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...) en est un exemple typique.

Image:Sinuspetit.png

Limite d'une suite

  • Voir article détaillé : Limite de suite

Introduction

Les suites sont le type particulier des fonctions dont le domaine de définition est \N \,\! ou une partie de \N \,\!. Il est donc inutile de considérer la limite éventuelle d'une suite en un point a\,\! négatif, ou non-entier, ou encore en -\infty \,\!. Ce qui nous laisse comme possibilités a priori, les entiers naturels et +\infty \,\!.

Mais on voit rapidement que l'étude de la limite d'une suite en un entier n\,\! serait inintéressante ; en effet l'ensemble \N \,\! est discret c'est-à-dire que ses points " ne sont pas voisins les uns des autres ", et donc il est sans intérêt d'étudier le comportement local d'une suite. Ainsi le seul cas de figure envisageable est le cas de la limite d'une suite en +\infty \,\!, et on parlera donc de " limite d'une suite " sans préciser qu'il s'agit d'une limite en +\infty \,\!. On pourra même noter \lim (u_n) \,\! au lieu de \lim_{n \to +\infty} (u_n) \,\!.

Définition, convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :), divergence

La définition d'une suite découle assez naturellement de la restriction à une fonction définie sur \N \,\! de la définition de la limite en +\infty \,\! d'une fonction quelconque.

  • Cas d'une limite finie l \,\! : pour tout " écart de tolérance " \epsilon > 0 \,\! il existe un " rang de confiance " N_0 \in \N \,\! tel que, pour n \,\! à partir du rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie...) N_0 \,\!, la valeur u_n \,\! est proche de l \,\! à \epsilon \,\! près :

n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!

On note alors \lim (u_n) = l \,\!, et on dit que (u_n) \,\! tend (ou plutôt converge) vers l \,\!.

Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. On a la propriété suivante : Toute suite convergente est bornée.

  • Cas d'une limite infinie : pour tout " seuil de tolérance " M \,\! on peut trouver un " rang de confiance " à partir duquel les valeurs de (u_n) \,\! sont supérieures (resp. inférieures) à M \,\! :
    • n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \geq M \,\! pour \lim (u_n) = +\infty \,\!
    • n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \leq M \,\! pour \lim (u_n) = -\infty \,\!

On dit alors que (u_n) \,\! tend (ou plutôt diverge) vers +\infty \,\! (resp. vers -\infty \,\!).

NB: On parle de suite convergente seulement lorsqu'une suite admet une limite finie, et de suite divergente dans tous les autres cas, c'est-à-dire pour les suites divergeant vers \pm\infty \,\! ou pour les suites n'ayant pas de limite.

Exemples:

un = 1 / n tend vers 0
un = n tend vers +\infty
un = ( − 1)n prend alternativement les valeurs 1 et -1 et n'a aucune limite.

Théorèmes assurant la convergence

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) 1: Toute suite majorée croissante est convergente.

Théorème 2: Toute suite minorée décroissante est convergente.

Suites extraites

On appelle suite extraite de la suite (u_n) \,\! une suite qu'on construit en énumérant les termes de (u_n) \,\! sauf certains qu'on laisse de côté ; ainsi on ne garde qu'une partie de l'information. L'exemple le plus classique est celui des suites (u_{2n}) \,\! qui est formée par les termes de rang pair, et (u_{2n+1}) \,\! qui est formée par les termes de rang impair.

Plus généralement, on appelle " extraction " toute application \phi \ : \ \N \rightarrow \N \,\! strictement croissante. Alors une suite extraite est une suite de la forme (u_{\phi(n)}) \,\!.

Une propriété importante est que si une suite (u_n) \,\! admet une limite (finie ou infinie) alors toute suite extraite (u_{\phi(n)}) \,\! admet la même limite.

NB: La réciproque est en général fausse, ainsi qu'on peut le constater en prenant la suite (u_n) = (-1)^n \,\! ; alors (u_{2n}) \,\! est la suite constante égale à 1 \,\! et donc elle converge vers 1 \,\!, ce qui n'est pas le cas de la suite (u_n) \,\! qui est divergente.

On peut par contre affirmer : Si les suites (u_{2n}) \,\! et (u_{2n+1}) \,\! admettent la même limite, alors la suite (u_n) \,\! admet elle aussi cette limite commune. On peut donc ramener l'étude de la convergence d'une suite à celle des suites de rangs pair et impair qui peuvent s'avérer plus simples.

Compléments

  • Opérations sur les limites
  • Propriétés des limites (Voici une liste des propriétés des limites en calcul différentiel.)
  • Limites de référence (Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites...)
  • Théorème des gendarmes (En analyse, le théorème des gendarmes, également appelé théorème d'encadrement ou théorème du sandwich, s'énonce de la manière suivante :)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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