Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires

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Probabilité (Probabilité vient du latin probare (prouver, ou tester). Le mot probable signifie « qui peut se produire » dans le cas de futures éventualités, ou...)

Statistique (Une statistique (par opposition à la statistique) est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'une population. D'une façon générale, c'est le...)

Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins connues dans le secondaire, et sont toutes définies sur R ou un...) partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.).

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition donc si , on a .

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

avec

Monômes..

, avec

• En  :

• En  :

• • Pour n pair :

• • Pour n impair :

..et leurs inverses

, avec

• En  :

• En les fonctions ne sont pas définies :

• • Pour n pair :

• • Pour n impair :

Polynômes

Les limites en d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que...) avec sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) , dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de et le signe de .

Monômes de puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) quelconque

• Puissances positives :

, avec

Cas particulier : donne et :

• Puissances négatives :

, avec

Fonctions logarithmes, exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de groupes...) et puissances

Logarithmes

• Logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme...) népérien (ou naturel) :

• Logarithme de base a

, avec

• • Base a > 1 :

• • Base a < 1 :

Exponentielle et puissance d'un réel positif

• La fonction exponentielle

• Puissance d'un nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) positif a

avec a > 0.

• • Base a > 1 :

• • Base a < 1 :

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

• Tangente :

.

Alors pour tout entier relatif  :

• Cotangente :

.

Alors pour tout entier relatif  :

• Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques

• Sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux...) hyperbolique :

• Cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...) hyperbolique :

• Tangente hyperbolique :

Fonctions réciproques

• Arc tangente : operatorname{

• Argument sinus hyperbolique :

• Argument cosinus hyperbolique :

• Argument tangente hyperbolique :

Suites usuelles

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

ou alors définie par son premier terme et une relation de récurrence :

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction en  ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques

* Voir article détaillé : suite arithmétique

Dans ce cas et est appelé la raison de la suite  : on peut donner une expression directe de  : .

• Si on a :

• Si on a :

Suites géométriques

• Voir article détaillé: suite géométrique

Dans ce cas et est encore appelé la raison de la suite  : on peut donner une expression directe de  : .

• Si on a :

• Si on a :

• Si on a :

• Si alors n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

Suites arithmético-géométriques

• Voir article détaillé : suite arithmético-géométrique

Dans ce cas (avec ) et on peut donner une expression directe de  : .

• Si on a :

• Si on a :

• Si alors n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

Suites homographiques

Dans ce cas (avec et ) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de . Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...).

• Si la suite ne peut pas avoir de limite.

• Si la seule limite possible est .

• Si les seules limites possibles sont ou .

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial la distance pour chaque valeur éventuelle de .