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Limites de référence
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...)

Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins connues dans le secondaire, et sont toutes définies...) partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.).

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition D \,\! donc si a \in D \,\!, on a \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!.

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto \lambda \,\! avec \lambda \in \R \,\!

\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lambda \,\!

Monômes..

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto x^n \,\!, avec n \in \N^* \,\!

  • En +\infty \,\! : \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \,\!
  • En -\infty \,\! :
    • Pour n pair : \lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\,\!
    • Pour n impair : \lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\,\!

..et leurs inverses

f \ : \ \R^* \rightarrow \R, \ x \mapsto \frac{1}{x^n} \,\!, avec n \in \N^* \,\!

  • En \pm \infty \,\! :

\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 \,\!

  • En 0 \,\! les fonctions ne sont pas définies :
    • Pour n pair :

\lim_{x \to 0, x \neq 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!

    • Pour n impair :

\lim_{x \to 0, x < 0} \frac{1}{x^n} = -\infty \,\!

\lim_{x \to 0, x > 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!

Polynômes

Les limites en \pm\infty \,\! d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne...) P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ \cdot \cdot \cdot \ + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,\! avec a_n \neq 0 \,\! sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) a_n x^n \,\!, dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de n \,\! et le signe de a_n \,\!.

Monômes de puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) quelconque

  • Puissances positives :

f \ : \ \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto x^\alpha \,\!, avec \alpha > 0 \,\!

\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty \,\!

Cas particulier : \alpha = \frac{1}{2} \,\! donne f(x) = \sqrt{x} \,\! et :
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \,\!
  • Puissances négatives :

f \ : \ \R_+^* \rightarrow \R, \ x \mapsto x^\alpha \,\!, avec \alpha < 0 \,\!

\lim_{x \to 0, x > O} x^\alpha  = +\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = 0 \,\!

Fonctions logarithmes, exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...) et puissances

Logarithmes

  • Logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de...) népérien (ou naturel) :

f \ : \ \R_+^* \rightarrow \R, \ x \mapsto \ln(x) \,\!

\lim_{x \to 0, x > O} \ln(x) = -\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \,\!

  • Logarithme de base a

f \ : \ \R_+^* \rightarrow \R, \ x \mapsto \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \,\!, avec a > 0 \,\!

    • Base a > 1 :

\lim_{x \to 0, x > O} \log_a(x) = -\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = +\infty \,\!

    • Base a < 1 :

\lim_{x \to 0, x > O} \log_a(x) = +\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = -\infty \,\!

Exponentielle et puissance d'un réel positif

  • La fonction exponentielle

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto \exp(x) = e^x \,\!

\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \,\!

\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \,\!

  • Puissance d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) positif a

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto a^x = e^{x \ ln(a)} \,\! avec a > 0.

    • Base a > 1 :

\lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \,\!

\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \,\!

    • Base a < 1 :

\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \,\!

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

  • Tangente :

\begin{matrix} f \ : \ & \R -(\frac{\pi}{2} +\pi \Z) = \bigcup_{k \in \Z} ]-\frac{\pi}{2} + k \pi ,\frac{\pi}{2} + k \pi [ \rightarrow \R  \\ \ & \  \\ \ & x \mapsto \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}  \\ \ & \ \end{matrix} \,\!.

Alors pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier relatif k \in \Z :

\lim_{x \to -\frac{\pi}{2} + k \pi, x > -\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = -\infty \,\!

\lim_{x \to +\frac{\pi}{2} + k \pi, x < +\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = +\infty \,\!

  • Cotangente :

\begin{matrix} f \ : \ & \R -(\pi \Z) = \bigcup_{k \in \Z} ]k \pi, (k + 1) \pi [ \rightarrow \R  \\ \ & \  \\ \ & x \mapsto \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}  \\ \ & \ \end{matrix} \,\!.

Alors pour tout entier relatif k \in \Z :

\lim_{x \to k \pi, x > k \pi} \cot(x) = -\infty \,\!

\lim_{x \to (k + 1) \pi, x < (k + 1) \pi} \cot(x) = +\infty \,\!

  • Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques

  • Sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des...) hyperbolique :

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto \operatorname{sh}(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \,\!

\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sh}(x) = -\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} \operatorname{sh}(x) = +\infty \,\!

  • Cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux...) hyperbolique :

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto \operatorname{ch}(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \,\!

\lim_{x \to -\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!

  • Tangente hyperbolique :

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto \operatorname{th}(x) = \frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)} \,\!

\lim_{x \to -\infty} \operatorname{th}(x) = -1 \,\!

\lim_{x \to +\infty} \operatorname{th}(x) = 1 \,\!

Fonctions réciproques

  • Arc tangente : operatorname{

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto \operatorname{Arctan}(x) \,\!

\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Arctan}(x) = -\frac{\pi}{2} \,\!

\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Arctan}(x) = \frac{\pi}{2} \,\!

  • Argument sinus hyperbolique :

f \ : \ \R \rightarrow \R, \ x \mapsto \operatorname{Argsh}(x) \,\!

\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Argsh}(x) = -\infty \,\!

\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argsh}(x) = +\infty \,\!

  • Argument cosinus hyperbolique :

f \ : \ [1,+\infty[ \rightarrow \R, \ x \mapsto \operatorname{Argch}(x) \,\!

\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argch}(x) = +\infty \,\!

  • Argument tangente hyperbolique :

f \ : \ ]-1,1[ \rightarrow \R, \ x \mapsto \operatorname{Argth}(x) \,\!

\lim_{x \to -1} \operatorname{Argth}(x) = -\infty \,\!

\lim_{x \to 1} \operatorname{Argth}(x) = +\infty \,\!

Suites usuelles

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

\forall n \in \N, \ u_n=f(n) \,\!

ou alors définie par son premier terme u_0 \in \R \,\! et une relation de récurrence :

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \varphi(u_n) \,\!

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction f \,\! en +\infty \,\! ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques

* Voir article détaillé : suite arithmétique \forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + r \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=x+r \,\! et r \in \R \,\! est appelé la raison de la suite u \,\! : on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n=u_0+nr \,\!.

  • Si r>0 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si r<0 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = -\infty \,\!

Suites géométriques

  • Voir article détaillé: suite géométrique

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=q x \,\! et q \in \R \,\! est encore appelé la raison de la suite u \,\! : on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n=q^n u_0 \,\!.

  • Si |q|<1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = 0 \,\!
  • Si q=1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = u_0 \,\!
  • Si q>1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si q<-1 \,\! alors u \,\! n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!

Suites arithmético-géométriques

  • Voir article détaillé : suite arithmético-géométrique

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n + r \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=q x + r \,\! (avec q \neq 1 \,\!) et on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n = q^n u_0 + r \frac{q^n-1}{q-1} \,\!.

  • Si |q|<1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = \frac{b}{1-a} \,\!
  • Si q>1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si q<-1 \,\! alors u \,\! n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!

Suites homographiques

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d} \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \,\! (avec c \neq 0 \,\! et ad-bc \neq 0 \,\!) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de u_n \,\!. Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant \Delta = (a-d)^2 + 4bc \,\! de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...)\varphi(x) = x \,\!.

  • Si \Delta < 0 \,\! la suite ne peut pas avoir de limite.
  • Si \Delta = 0 \,\! la seule limite \ell \,\! possible est \frac{a-d}{2c} \,\!.
  • Si \Delta > 0 \,\! les seules limites \ell \,\! possibles sont \frac{a-d-\sqrt{\Delta}}{2c} \,\! ou \frac{a-d+\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!.

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial u_0 \,\! la distance |u_n-\ell| \,\! pour chaque valeur éventuelle de \ell \,\!.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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