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Intégration par changement de variable

En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.

Principe

C'est la règle d'intégration qui découle de la règle de dérivation en chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :). Soit deux fonctions dérivables f,g et sachant, par la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction...), que

\int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df(x) = f(x) + C

alors la formule de la règle de dérivation en chaîne permet d'obtenir

\int \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d g(x)} f(g(x)) \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} g(x) \right) dx = \int\mathrm d[f \circ g(x)] = f \circ g (x) + C

Exemple

Il est évidemment plus aisé de comprendre par l'exemple. Supposons qu'on veuille calculer

\int 2x \cos(x^2)\mathrm dx

Si on pose le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) u = x2 et donc du = 2xdx alors

\int 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int \cos(u)\mathrm du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...)

Soit f une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une...) continue, et φ(t) une fonction de classe \mathcal{C}^1 (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée...) est continue) sur un intervalle [a, b] dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f.

Alors

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt

Démonstration :

f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire l'ensemble des éléments...) de f. La fonction F\circ \varphi est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a:

(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'

D'où

\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,\mathrm dt
=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,\mathrm dt
=\left[F\circ \varphi\right]_a^b
=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))
=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx

Changements de variables classiques

  • Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
  • Pour calculer
    \int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\mathrm{d}x},
    où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose
    u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} :
    le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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