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Nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (\mathbb Z), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté \mathbb Q.

Développement décimal

Comme tous les réels, les rationnels admettent une représentation en développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou positives). Lorsque les nombres sont des entiers naturels, le...) illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. Cette séquence est appelée : " période du développement décimal illimité ".

Le développement décimal illimité d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel, et a fortiori d'un nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est...), est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’. En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent.

Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes (Les chiffres arabes, qui furent d'abord utilisés en France puis dans toute l'Europe et enfin dans le monde entier, ont été empruntés aux Arabes, qui les avaient...) dans le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation...) nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessus de la séquence périodique. Il est aussi possible de mettre un point (Graphie) au-dessus de chaque chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) de la période, mais cette notation est beaucoup moins utilisée.

Lorsqu'une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que d'une manière rigoureuse :

1 = 1,\overline{0} = 0,\overline{9} \neq 0,99999...
\frac{1}{3} = 0,\overline{3} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=1}^{x} \frac{3}{10^n} \right)

Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel.

Ainsi, le nombre 0,12\,122\,1222\,12222...\, (où l'on a des séquences de ’2’ de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.

Rationnels, irrationnels

Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel.

Ainsi, 2,4\, qui peut s'écrire \frac{12}{5} est rationnel, de même que 13,\overline{444} qui correspond à \frac{121}{9}.

Les nombres entiers sont tous rationnels. En revanche, la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le...) de 2 est irrationnelle (voir la démonstration).

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des nombres réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels : tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel est la limite d'une suite de rationnels.

Autres écritures

Les nombres rationnels compris entre 0 et 1 peuvent être écrits comme somme de fractions égyptiennes :

\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}
\frac{47}{72} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{36}

Si le dénominateur d'une fraction est un produit de facteurs premiers différents, la fraction peut être décomposée en somme ou différence de fractions partielles :

\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}
\frac{35}{72} = \frac{35}{8} - \frac{35}{9}

Les fractions partielles ont des dénominateurs plus simples, qui sont des puissances entières de nombres premiers.

De la notation décimale vers la notation fractionnaire

Il existe une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers :

178,\overline{0} = \frac {1780 - 178}{9} = \frac {9 \times 178}{9} = 178
178,\overline{5} = \frac {1785 - 178}{9} = \frac {1607}{9}
178,\overline{45} = \frac {17845 - 178}{99} = \frac {17667}{99}
178,\overline{4210} = \frac {1784210 - 178}{9999} = \frac {1784032}{9999}

Et lorsque la période est décalée :

178,10\overline {45} = \frac {17810,\overline {45}} {100} = \frac {1781045 - 17810}{100 \times 99} = \frac {1763235}{100 \times 99} = \frac {1763235}{9900}

On peut prouver que 12,\overline{9} = 13 en procédant de la sorte :

12,\overline{9} = \frac {129-12}{9} = \frac {117}{9} = \frac {13 \times 9}{9} = 13

Ou de façon plus intuitive :

0,\overline{9} = 9 \times 0,\overline{1} = {9} \times \frac{1}{9}\,
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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