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Opérations sur les dérivées
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode...)

On peut déterminer la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique)...) de n'importe quelle fonction en effectuant des opérations sur les dérivées présentées ici.

Dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) l'article, I et J seront des intervalles réels.

Les démonstrations de ces propriétés dérivent des opérations sur les limites.

Linéarité

Multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par un réel

Soient f \, : \, I \rightarrow \R une fonction dérivable sur I et α un réel fixé. Le produit αf est dérivable sur I et :

\bigl(\alpha f(x)\bigr)'=\alpha f'(x)

Somme

Soient f \, : \, I \rightarrow \R et g \, : \, I \rightarrow \R deux fonctions dérivables sur I. Leur somme f + g est dérivable sur I et :

\bigl(f(x)+g(x)\bigr)' = f'(x)+g'(x)

Produit et quotient

Produit

Soient f \, : \, I \rightarrow \R et g \, : \, I \rightarrow \R deux fonctions dérivables sur I. Leur produit fg est dérivable sur I et

\bigl(f(x)g(x)\bigr)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :)

Soit f \, : \, I \rightarrow \R une fonction dérivable sur I. La fonction f^n \, , \, n \in \R \, est dérivable sur I, sa dérivée est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par

\bigl(f^n\bigr)'(x) = nf'(x)f(x)^{n-1}

Inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...)

Soit f \, : \, I \rightarrow \R une fonction dérivable sur I. L'inverse \tfrac{1}{f} de f est dérivable sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) des x \in I tels que f(x) \neq 0 et sa dérivée est donnée par

\left( \frac{1}{f(x)} \right)' = -\frac{f'(x)}{f(x)^2}

Quotient

Soient f \, : \, I \rightarrow \R et g \, : \, I \rightarrow \R deux fonctions dérivables sur I. Le quotient \tfrac{f}{g} est dérivable sur l'ensemble des x \in I tels que g(x) \neq 0 et sa dérivée est donnée par

\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Composition

Composée

Soient f \, : \, I \rightarrow \R et g \, : \, J \rightarrow \R deux fonctions dérivables respectivement sur I et J. On suppose que l'image par f de l'intervalle I est incluse dans J : f(I) \subset J.

Alors la fonction composée g \circ f définie par \forall x \in I, \ g \circ f (x) = g\bigl(f(x)\bigr) est dérivable sur I et :

(g \circ f)'(x) = f'(x) \cdot (g' \circ f)(x) = f'(x)\cdot g'\bigl(f(x)\bigr)

Bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On...) réciproque

Soit f \, : \, I \rightarrow J une fonction bijective dérivable sur I. Alors la fonction réciproque f^{-1} \, : \, J \rightarrow I est dérivable en tout point (Graphie) y \in J tel que f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr) \neq 0 et pour un tel y :

\bigl( f^{-1} \bigr)'(y) = \frac{1}{f' \circ f^{-1}(y)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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