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Intégrale de Riemann
Interprétation géométrique de l'intégrale de la fonction f.
Interprétation géométrique de l'intégrale de la fonction f.

En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon simple de définir l'intégrale d'une fonction sur un intervalle. En termes géométriques, cette intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la...) s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) représentative de la fonction, comptée algébriquement.

Le procédé général utilisé pour définir l'intégrale de Riemann (En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon simple de définir l'intégrale d'une fonction sur un intervalle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe...) est l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) par des fonctions en escalier (L’escalier est une construction architecturale constituée d'une suite régulière de marches, les degrés, permettant...), pour lesquelles la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de l'aire sous la courbe est aisée. Les fonctions pour lesquelles cette définition est possible sont dites intégrables au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) de Riemann. C'est le cas notamment des fonctions continues, continues par morceaux, ou réglées sur un segment [a,b].

On obtient un procédé d'intégration plus général et plus satisfaisant, notamment vis-à-vis du passage à la limite, en introduisant l'intégrale de Lebesgue (En mathématiques dans la branche de l'analyse réelle, l'intégrale de Lebesgue est une intégrale représentative d'une théorie qui étend la notion d'intégrale représentant l'aire du domaine sous la courbe d'une...).

Définition de l'intégrale

Les fonctions en escalier

Aire sous une courbe approchée par une suite de rectangles
Aire sous une courbe approchée par une suite de rectangles

Soit E un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des éléments de B...) quelconque du segment [a,b]. Soit χE la fonction qui vaut 1 si x appartient à E et 0 si x n'appartient pas à E. χE est appelée la fonction indicatrice de E, ou la fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) de E.

Ces fonctions sont notre point (Graphie) de départ et nous posons :

pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) segment [c,d] inclus dans [a,b] et pour toute constante z≥0, \int z \chi_{[c,d]}(x)\,\mathrm d x = z(d-c).

Dans ce cas l'aire sous la courbe de cette fonction est égale à l'aire du rectangle de base [c,d] et de hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) z.

De la même manière, quelques expérimentations géométriques avec de telles fonctions nous amènent à penser que si f1, f2,..., f n sont n fonctions indicatrices sur des intervalles disjoints et si a1,a2,...,an sont des scalaires positifs, alors l'aire du domaine sous la courbe de la fonction

f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_nf_n

doit être égale à

\int f = a_1 \int f_1 + a_2 \int f_2 + \cdots + a_n \int f_n

Une fonction de cette forme est appelée une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de fonction indicatrices, ou tout simplement une fonction en escalier. Remarquons maintenant que nous avons décidé quelle devrait être l'intégrale d'une fonction en escalier.

Nous prenons un raccourci maintenant en déclarant que la formule précédente reste valable si certains coefficients aj sont négatifs.

Une différence cruciale entre l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue, est que les fonctions en escalier de l'intégrale de Lebesgue sont des combinaisons linéaires de fonctions indicatrices sur des ensembles qui ne sont pas nécessairement des intervalles.

Bien sûr, nous devons travailler d'avantage pour pouvoir calculer des intégrales d'une plus grande classe de fonctions que celle des fonctions en escalier. Aussi remarquons que l'intégrale de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures, et que les fonctions positives sont traitées en premier, avant d'étendre l'intégrale aux fonctions qui peuvent prendre des valeurs négatives.

Définition générale

Soit f continue sur [a;b]. Soit x_0,x_1,\dots,x_n une subdivision de [a;b] (avec x0 = a et xn = b), ξi tel que x_{i-1}\leqslant\xi_i\leqslant x_i et Δxi = xixi − 1 :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \lim_{\underset{\scriptstyle\Delta x_i\to0}{n\to\infty}}\ \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i

Fonctions à valeurs réelles : intégrales inférieure et supérieure

À partir d'observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le...) géométriques, simplement en voyant que le domaine Sf[réf. nécessaire] est un sous-ensemble de Sg[réf. nécessaire] (Au moins dans le cas de fonctions positives, ceci est clair.), nous imposons que si f vérifie pour tout x de [a,b], f(x)≤g(x) alors

\int f \le \int g

Nous appelons cette propriété la croissance de l'intégrale.

L'intégrale d'une fonction en escalier étant définie et la condition de monotonie étant imposée, nous pouvons intégrer des fonctions à valeurs positives arbitraires. Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur [a,b] et soit l une fonction en escalier telle que pour tout x on ait, l(x)≤f(x). De plus, soit u une fonction en escalier telle que pour tout x on ait, u(x)≥f(x). Si nous devions donner une valeur à ∫ f conforme à la condition de monotonie, alors nous devrions avoir :

\int l \le \int f \le \int u

L'intégrale ∫l est alors appelée une somme inférieure pour f et l'intégrale ∫u est alors appelée une somme supérieure pour f. L'inégalité précédente doit être vérifiée pour toutes sommes supérieures et inférieures de f, donc nous pouvons en déduire une autre inégalité:

\sup_l\int l\le\int f\le \inf_u\int u

où supll est la borne supérieure de toutes les sommes inférieures, et infuu est la borne inférieure de toutes les sommes supérieures (voir borne supérieure et borne inférieure.) Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) supll est parfois appelé intégrale inférieure de f; de la même manière, le nombre infuu est appelé intégrale supérieure.

Si les intégrales supérieures et inférieures sont égales, alors il y a seulement une façon de définir ∫ f. Il ne peut pas arriver que l'intégrale inférieure soit plus grande que l'intégrale supérieure (par construction, comme le lecteur peut le vérifier.) Cependant, il peut arriver que l'intégrale supérieure ne soit pas égale à l'intégrale inférieure. Par exemple, le lecteur peut vérifier cela, pour la fonction indicatrice :

χQ

où Q est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des nombres rationnels du segment [a,b] avec a<b, l'intégrale inférieure est égale à 0 et l'intégrale supérieure est égale à b-a>0.

Toutes les fonctions dont les intégrales inférieures et supérieures sont finies et égales, constituent l'ensemble des fonctions intégrables au sens de Riemann ou Riemann-intégrables. En revanche, les fonctions qui ont des intégrales inférieures et supérieures différentes sont dites non intégrables au sens de Riemann. Dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le...) de cet article, nous dirons intégrable ou non intégrable sachant que nous parlons d'" intégrabilité " au sens de Riemann.

On peut vérifier qu'une fonction en escalier a une intégrale égale à ses intégrales supérieures et inférieures.

Propriétés

Lemme 1Soit [a,b] un segment. L'application I:f → ∫f qui associe à f l'intégrale de a à b est une forme linéaire. Et ainsi pour toutes fonctions intégrables f et g, et tout nombre réel λ, If + g) = λI(f) + I(g).

Ceci peut être démontré à partir des premiers principes de la construction de l'intégrale de Riemann.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) 2Toute fonction à valeurs réelles, continue sur le segment [a,b] est intégrable.

La preuve repose sur le fait qu'une fonction continue sur un segment est uniformément continue.

Corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) 3Si f est continue sur [a,b] sauf peut-être en un nombre fini de points de discontinuité, et si f est bornée, alors f est intégrable.

La condition f bornée ne peut pas être omise.

Théorème 4Si (fk) est une suite de fonctions intégrables sur [a,b], et si (fk) converge uniformément vers une fonction f, alors f est intégrable, et les intégralesfk convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) versf.
Corollaire 5Soit C(a,b) l'espace de Banach des fonctions continues sur [a,b] muni de la norme de convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite ait une limite. La...). Alors I:f∫f est continue. Conjointement avec le lemme 1, nous pouvons en déduire que l'intégrale est une forme continue sur C(a,b).

Les hypothèses du théorème 4 (convergence uniforme sur un segment) sont très fortes. Une première difficulté avec l'intégrale de Riemann se pose, lorsque nous tentons d'amoindrir ces hypothèses. En fait, la suite numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) (∫fk) converge vers le nombre ∫f plus souvent que le théorème le suggère, mais il est très difficile de le prouver dans cet ensemble. La meilleure façon d'avoir un théorème plus fort est d'utiliser l'intégrale de Lebesgue.

Un autre problème avec l'intégrale de Riemann est qu'elle ne s'étend pas aux intervalles non bornés très facilement. Si nous souhaitons intégrer une fonction f de -∞ à +∞, nous pouvons calculer

\lim_{n\to+\infty} \int_{-n}^n f(x)\mathrm dx

Cependant, certaines propriétés (telles que l'invariance par translation, le fait que l'intégrale de Riemann ne change pas si nous translatons l'intégrande (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur (le ∫ ).) f) ne sont plus vérifiées. En fait, le Théorème 4 devient faux pour une telle intégrale, et il devient très difficile d'utiliser des limites conjointement avec l'intégrale. De telles intégrales sont appelées intégrales impropres. À nouveau, l'intégration de Lebesgue allège ces difficultés.

Sommes de Riemann

Comparaison avec d'autres procédés d'intégration

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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