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Proportionnalité
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Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données. Dans...)

On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite. Habituellement les objets...) de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.).

Exemple: Si, dans un magasin, le prix des pommes est de 2 euros le kg, il y a proportionnalité entre le prix à payer et le poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la...) de pommes achetées. Le coefficient de proportionnalité est 2.

  • Pour 1 kg, on doit payer deux euros.
  • Pour 3 kg, on doit payer 6 euros.
  • Pour 1,5 kg, on doit payer 3 euros.

On remarque que le quotient des deux quantités est constant et est égal au coefficient de proportionnalité.

\frac{2}{1} = \frac{6}{3}=\frac{3}{1,5} = 2

Les Anciens comme Euclide auraient écrit que 2 est à 1 comme 6 est à 3 ou comme 3 est à 1,5.

Tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de proportionnalité

C'est un tableau où l'une des lignes est proportionnelle à l'autre.

poids 1 3 1,5
prix 2 6 3

On peut ajouter une colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux colonnes, ou en multipliant une colonne par une constante.

  • 3 + 1,5 = 4,5 et 6 + 3 = 9 donc
poids 1 3 1,5 4,5
prix 2 6 3 9
  • 3 × 2 = 6 et 6 × 2 = 12 donc
poids 1 3 1,5 6
prix 2 6 3 12

Si on choisit deux colonnes, le produit des nombres situés dans une diagonale est égal au produit des nombres situés dans l'autre diagonale (produit en croix)

3 1,5
6 3

3 × 3 = 6 × 1,5

Quatrième proportionnelle

La quatrième proportionnelle est le quatrième nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sont déjà remplies. Ce quatrième nombre s'obtient en faisant le produit des nombres situés sur une même diagonale et en divisant par le troisième nombre.

Cette technique s'est appelée longtemps la règle de trois (La règle de trois, aussi appelée produit croisé, permet de résoudre de nombreux problèmes concernant des phénomènes proportionnels.).

Exemple: il faut 6 heures (L'heure est une unité de mesure  :) pour écrire un rapport de 33 pages, combien d'heures faut-il pour un rapport de 55 pages?

Tableau de proportionnalité:

6  ?
33 55

Réponse: \frac{6\times 55}{33}= 10 heures

Proportionnalité et géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...)

La proportionnalité en géométrie est principalement utilisée dans le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés dans...) et dans les triangles semblables. Mais on la retrouve aussi dans les coordonnées de vecteurs colinéaires. En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est...) 2, l'égalité des produits en croix ab' = ba' devient alors ab' - ba'= 0 (déterminant nul)

Représentation graphique

Si y est proportionnel à x, les points de coordonnées (x;y) sont tous situés sur une même droite passant par l'origine. Le coefficient de proportionnalité, le réel k tel que y = k×x est appelé pente ou coefficient directeur de la droite. On dit aussi que y est fonction linéaire (Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples que l'on rencontre. Ce sont des cas particuliers d'applications linéaires.) de x.

Quantités inversement proportionnelles

Deux quantités sont inversement proportionnelles, si l'une est proportionnelle à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) de l'autre.

Pour parcourir 100 km, le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) est inversement proportionnel à la vitesse (On distingue :).

  • à 100 km.h-1, il faut 1 h
  • à 50 km.h-1, il faut 2 h
  • à 10 km.h-1, il faut 10 h

On remarque que, si deux quantités sont inversement proportionnelles, leur produit est constant

  • 100 × 1 = 50 × 2 = 10 × 10
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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