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Puissance (mathématiques élémentaires)
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...)

L'étude élémentaire des puissances se fait dans le cadre de l'algèbre élémentaire (L'algèbre élémentaire est la forme d'algèbre la plus simple enseignée aux élèves du secondaire qui ont des mathématiques une connaissance n'allant pas au-delà des concepts de l'arithmétique....).

La notion de puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) est un cas particulier de celle de produit.

La puissance d'exposant (Exposant peut signifier:) entier strictement positif d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel est le résultat de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois ; par exemple la puissance cubique du nombre a, notée a3, est le produit

a × a × a.

En somme la puissance est à la multiplication ce que la multiplication est à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature,...).

On introduit ensuite les puissances d'exposant entier strictement négatif d'un nombre réel non nul, inverses des puissances d'exposant entier strictement positif de ce nombre réel, par exemple

si a est un nombre réel non nul, a^{-3}=\frac{1}{a^3}.

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10-5, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) et en chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations communs ou proches.).

Puissance à exposant positif

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée a n et lu " a exposant n " ou " a puissance n ", est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n fois :

a n = a × a ×...× a, n fois.

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance a n.

Le nombre n étant un nombre positif, car entier naturel, a n est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers
  • On notera que a1 = a.
  • On appelle a 2 la puissance carrée, ou le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...), de a.
  • On appelle a 3 la puissance cubique, ou le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables...), de a.

On remarque facilement que, quel que soit l'entier naturel n non nul, 0 n = 0.

Puissance à exposant nul

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre réel a non nul, on pose par convention que a 0 = 1. Démonstration : a 0 = a 1-1 = a1 x a-1 = a x 1/a = 1 d'où a 0 = 1

Dans certains contextes il est utile et acceptable de poser que c'est vrai également pour a = 0. Par exemple, pour que le polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) X 0 représente bien la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne...) et des nombres cardinaux on peut montrer que 00 = 1. La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la puissance est ici très particulière, et ne correspond en rien au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) élémentaire.

Dans d'autres contextes 00 n'est pas définie.

Puissance à exposant négatif

On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a-n, lu " a exposant moins n " ou " a puissance moins n ", est l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) de la puissance énième de a, c'est-à-dire :

a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}

On comprend qu'il a fallu exclure 0 de cette définition car l'inclure serait revenu à vouloir diviser par 0, ce qui est impossible.

Le nombre -n est l'exposant de la puissance a-n.

Le nombre -n étant négatif, car n est un entier naturel, a-n est une puissance de a à exposant négatif. On notera, en particulier, que a-1 = 1/a (l'inverse du nombre a ).

Signe de l'exposant et signe du nombre

Il n'y a pas de rapport entre le signe de l'exposant et le signe du nombre.

Un nombre élevé à une puissance paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) (positive ou négative) donnera toujours un résultat positif.
Un nombre élevé à une puissance impaire donnera un résultat du même signe.

Par exemple

  • (- 2)3, puissance cubique de -2, vaut (-2)×(-2)×(-2)=-8 < 0.
  • 3-4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut
\frac{1}{3^4}=\frac{1}{3\times3\times3\times3}=\frac{1}{81}>0

Opérations algébriques sur les puissances

Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances sauf la factorisation de anbn et le développement de (a + b)n.

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances on sait que, pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n non nuls :

  • a^m\times{a}^{n}=a^{m+n}
  • \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} pour tout a non nul
  • (a^m)^n=a^{m\times{n}}
  • (a\times b)^n= a^n\times b^n
  • \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} pour tout b non nul

Ces formules sont encore valables si m et/ou n sont des entiers strictement négatifs à condition que a, comme b, soient non-nuls.

On remarque que la convention " a0 = 1 pour tout nombre réel non nul a " est cohérente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel n non nul et pour tout nombre réel a non nul :

  • a^n\times{a}^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{n-n}=a^0
    et
  • a^n\times{a}^{-n}={a^n}\times\frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=1.

On remarquera qu'en prenant n = 0, les égalités précédentes restent vraies.

Puissances de dix

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissances. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Table des puissances de dix
100 = 1
10-1 = 0,1 101 = 10
10-2 = 0,01 102 = 100
10-3 = 0,001 103 = 1 000
10-4 = 0,000 1 104 = 10 000
10-5 = 0,000 01 105 = 100 000
10-6 = 0,000 001 106 = 1 000 000

Dix élevé à une puissance entière positive n est un 1 suivi de n zéros. Dix élevé à une puissance entière négative -n est un 1 placé à la n e position dans un nombre décimal (précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule).

On utilise fréquemment les puissances multiples de trois, qui correspondent aux préfixes du système international :

Table des puissances de dix multiples de trois
Puissance de dix Préfixe SI Puissance de dix Préfixe SI
10-3 = 0,001
un millième
m (milli-) 103 = 1 000
mille
k (kilo-)
10-6 = 0,000 001
un millionième
µ (micro-) 106 = 1 000 000
un million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui précède un million un (1 000 001). Il vaut un millier de milliers.)
M (méga-)
10-9 = 0,000 000 001
un milliardième
n (nano-) 109 = 1 000 000 000
un milliard (Un milliard (1 000 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf millions neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999 999) et précède un milliard un...)
G (giga-)

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le...) vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc, multiplier par 10n pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite et diviser par 10n pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi

  • 325,72 × 10 = 3 257,2
  • 325,72/10 = 32,572
  • 325,72 × 105 = 32 572 000
  • 325,72/105 = 0,003 257 2

Il faut savoir que ce sont la base des théories pour faire tous les calculs par la suite.

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient

  • dans l'écriture explicite en base 10 :
325,72 = 3 × 102 + 2 × 10 + 5 + 7 × 10-1 + 2 × 10-2
  • dans l'écriture scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) des nombres décimaux :
325,72 est noté 3,257 2 × 102
où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse (Le terme mantisse (du latin mantissa = addition) a plusieurs sens en mathématiques. On restera donc très vigilant quant à l'utilisation de ce terme.), compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;
  • et dans la notation ingénieur :
325,72 est noté 325,72
32 572 est noté 32,572 × 103
où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 1 000 (strictement inférieur à 1 000) avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs...)

Les puissances entières sont en fait des cas particuliers de la fonction exponentielle :

ab = exp(b⋅ln a) définie par tout réel a strictement positif

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir :

  • des puissances fractionnaires : x^{1/n} = \sqrt[n]{x}, n étant un entier (voir Racine carrée, Racine cubique et Racine énième) qui coïncident avec les racines énièmes pour tout x strictement positif
  • des puissances réelles : x y peut être défini pour un y réel et tout x strictement positif.

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux même règles que les puissances entières, notamment

  • a^b \times a^c = a^{b+c}
  • (a^b)^c = a^{b \times c}

Pour tout a > 0 , b et c réels quelconques. On a en particulier

  • a^{-1/b} = \frac{1}{\sqrt[b]{a}}, pour tout b entier
  • \sqrt[c]{a^b} = a^{b/c}, c étant un entier ;
  • si b est non nul : (a^b)^{1/b} = (a^{1/b})^b = \sqrt[b]{a^b} = \left ( \sqrt[b]{a} \right )^b = a^{b/b} = a
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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