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Suite arithmético-géométrique

Une suite arithmético-géométrique est une suite à valeurs dans un corps et définie par récurrence par

\begin{cases} u_{n_0} = U\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = au_n + b \end{cases}

En règle générale, on travaille sur \R (corps des réels) ou \mathbb C (corps des complexes).

Utilisation

La suite arihmético-géométrique se rencontre dans la modélisation de certains flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens...) de population (apport fixe et fuite proportionnelle ): apport de 10 et fuite de 5%, u_{n+1} = u_n+ 10 - 5\% \times u_n

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement (En mathématiques financières élémentaires, un plan de remboursement détermine, lors d'un emprunt à mensualités constantes, les relations existant entre...) . Si Rn représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R_n)\, est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : Rn + 1 = (1 + t)RnM

On la trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états . La matrice stochastique (En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel...) est alors

\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b  & b \end{pmatrix}

De la relation

(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n) \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b  & b \end{pmatrix}

On déduit que:

p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n\,.

Comme d'autre part,

q_n = 1-p_n\,,

en remplaçant on obtient

p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b\,

Terme général

Pour le cas trivial où a = 1, on a affaire à une suite arithmétique.

Dans le cas où a \ne 1, on cherche par translation à se ramener à une suite géométrique :

On pose vn = un + c
On démontre que (v_n)\, est géométrique ssi c = -\frac{b}{1-a}
On trouve alors que v_n = v_{n_0}a^{n-n_0}
Puis, grâce aux relations entre un et vn, u_n = \frac{b}{1-a}+ a^{n-n_0}(u_{n_0}- \frac{b}{1-a})

On peut aussi retrouver le terme général, en observant que cette suite consiste à construire la somme des terme d'une suite géométrique. Pour l'illustrer, on peut s'intéresser au cas de la suite définie de la manière suivante (définition 2):

\begin{cases} u_{0} &= U\\ u_{n+1} &= au_n + b \end{cases},
On remarque alors que
u1 = aU + b
u2 = a2U + ab + b
u3 = a3U + a2b + ab + b
Le terme général s'exprime par
u_{n}=a^{n}u_{0}+ \sum_{i=0}^{n-1}a^{i}b.
Avec la somme des premiers termes d'une suite géométrique, on obtient le terme général suivant:
u_{n}=a^{n}u_{0} + b\dfrac{1-a^{n}}{1-a} = a^{n}(u_{0}-\dfrac{b}{1-a})+\dfrac{b}{1-a}
En posant r=\dfrac{b}{1-a}, on trouve
u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\,.

Somme des n premiers termes

Pour une suite définie suivant la définition 2, on a \sum_{i=0}^{n-1} u_{i}=(u_{0}+r)\dfrac{1-a^{n}}{1-a} - nr\,.

Convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :)

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u_{n_0} - \frac{b}{1-a}.

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où |a| < 1. Dans ce cas, la limite de la suite est \frac{b}{1-a} quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (fonction logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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