Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Partenaires
Organismes
 CEA
 ESA
Sites Web
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Suite arithmético-géométrique

Une suite arithmético-géométrique est une suite à valeurs dans un corps et définie par récurrence par

\begin{cases} u_{n_0} = U\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = au_n + b \end{cases}

En règle générale, on travaille sur \R (corps des réels) ou \mathbb C (corps des complexes).

Utilisation

La suite arihmético-géométrique se rencontre dans la modélisation de certains flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément...) de population (apport fixe et fuite proportionnelle ): apport de 10 et fuite de 5%, u_{n+1} = u_n+ 10 - 5\% \times u_n

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement (En mathématiques financières élémentaires, un plan de remboursement détermine, lors d'un emprunt à mensualités constantes, les relations existant entre le capital emprunté, le taux d'intérêt, le montant des...) . Si Rn représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R_n)\, est une suite arithmético-géométrique (Une suite arithmético-géométrique est une suite à valeurs dans un corps et définie par récurrence par) de relation de récurrence : Rn + 1 = (1 + t)RnM

On la trouve aussi dans une chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) de Markov à deux états . La matrice stochastique (En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des...) est alors

\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b  & b \end{pmatrix}

De la relation

(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n) \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b  & b \end{pmatrix}

On déduit que:

p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n\,.

Comme d'autre part,

q_n = 1-p_n\,,

en remplaçant on obtient

p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b\,

Terme général

Pour le cas trivial où a = 1, on a affaire à une suite arithmétique (En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur à valeurs dans un groupe additif E telle qu'il existe un élément de appelé raison pour lequel :).

Dans le cas où a \ne 1, on cherche par translation à se ramener à une suite géométrique :

On pose vn = un + c
On démontre que (v_n)\, est géométrique ssi c = -\frac{b}{1-a}
On trouve alors que v_n = v_{n_0}a^{n-n_0}
Puis, grâce aux relations entre un et vn, u_n = \frac{b}{1-a}+ a^{n-n_0}(u_{n_0}- \frac{b}{1-a})

On peut aussi retrouver le terme général, en observant que cette suite consiste à construire la somme des terme d'une suite géométrique (En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de appelé raison pour lequel :). Pour l'illustrer, on peut s'intéresser au cas de la suite définie de la manière suivante (définition 2):

\begin{cases} u_{0} &= U\\ u_{n+1} &= au_n + b \end{cases},
On remarque alors que
u1 = aU + b
u2 = a2U + ab + b
u3 = a3U + a2b + ab + b
Le terme général s'exprime par
u_{n}=a^{n}u_{0}+ \sum_{i=0}^{n-1}a^{i}b.
Avec la somme des premiers termes d'une suite géométrique, on obtient le terme général suivant:
u_{n}=a^{n}u_{0} + b\dfrac{1-a^{n}}{1-a} = a^{n}(u_{0}-\dfrac{b}{1-a})+\dfrac{b}{1-a}
En posant r=\dfrac{b}{1-a}, on trouve
u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\,.

Somme des n premiers termes

Pour une suite définie suivant la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) 2, on a \sum_{i=0}^{n-1} u_{i}=(u_{0}+r)\dfrac{1-a^{n}}{1-a} - nr\,.

Convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :)

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u_{n_0} - \frac{b}{1-a}.

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où |a| < 1. Dans ce cas, la limite de la suite est \frac{b}{1-a} quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à...) indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (fonction logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page. La liste des auteurs de cet article est disponible ici.