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Loi de Bernoulli
Bernoulli
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres p>0\, (nombre réel)
q\equiv 1-p\,
Support k=\{0,1\}\,
Densité de probabilité (En mathématiques statistiques, on appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X réelle continue une fonction f) (fonction de masse) \begin{matrix}     q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1     \end{matrix}
Fonction de répartition (En probabilité, la fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction qui à tout réel x associe) \begin{matrix}     0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1     \end{matrix}
Espérance p\,
Médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :) (centre) non disponible
Mode \textrm{max}(p,q)\,
Variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) pq\,
Asymétrie (skewness) \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Kurtosis (non-normalisé) \frac{3p^2-3p+1}{pq}\,
Entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite au milieu du XIXe siècle par Rudolf Clausius dans le cadre du second principe, d'après les travaux de Carnot[1]. Clausius a montré que le rapport Q/T (où Q est la quantité de...) -q\ln(q)-p\ln(p)\,
Fonction génératrice (En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par) des moments q+pe^t\,
Fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) q+pe^{it}\,

En mathématiques, la distribution de Bernoulli (En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0...) ou loi de Bernoulli (En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la...), du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...), qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité q = 1 − p.

f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ q & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.

L'espérance mathématique (L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. Elle est égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du gain (ou de la perte).) d'une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne une valeur donnée...) de Bernoulli vaut p et la variance vaut pq = p(1 − p).

Le Kurtosis tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1 / 2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

La distribution de Bernoulli s'applique lors d'une épreuve de Bernoulli (En probabilité, une épreuve de Bernoulli de paramètre p (réel compris entre 0 et 1) est une expérience aléatoire (c'est-à-dire soumise au hasard) comportant deux issues :) dont le succès est 1 et l'échec 0.

Distributions liées

  • Si X_1,\dots,X_n sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) p, indépendantes identiquement distribuées,alors Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)
    (Loi binomiale).
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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