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Loi de Bernoulli
Bernoulli
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres p>0\, (nombre réel)
q\equiv 1-p\,
Support k=\{0,1\}\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \begin{matrix}     q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1     \end{matrix}
Fonction de répartition \begin{matrix}     0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1     \end{matrix}
Espérance p\,
Médiane (centre) non disponible
Mode \textrm{max}(p,q)\,
Variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) pq\,
Asymétrie (skewness) \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Kurtosis (non-normalisé) \frac{3p^2-3p+1}{pq}\,
Entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite au milieu du XIXe siècle par Rudolf Clausius dans le cadre du second principe, d'après les travaux de Carnot[1]. Clausius a montré que le...) -q\ln(q)-p\ln(p)\,
Fonction génératrice des moments q+pe^t\,
Fonction caractéristique q+pe^{it}\,

En mathématiques, la distribution de Bernoulli (En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui...) ou loi de Bernoulli (En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution...), du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité q = 1 − p.

f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ q & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.

L'espérance mathématique d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule,...) aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut pq = p(1 − p).

Le Kurtosis tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...) pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1 / 2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

La distribution de Bernoulli s'applique lors d'une épreuve de Bernoulli dont le succès est 1 et l'échec 0.

Distributions liées

  • Si X_1,\dots,X_n sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre p, indépendantes identiquement distribuées,alors Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)
    (Loi binomiale).
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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