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Épreuve de Bernoulli

En probabilité, une épreuve de Bernoulli de paramètre p (réel compris entre 0 et 1) est une expérience aléatoire (c'est-à-dire soumise au hasard) comportant deux issues :

  • le succès
  • l'échec

Le réel p représente la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...) d'un succès. Le réel q = 1 - p représente la probabilité d'un échec.

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du " succès " et de " l'échec " est conventionnelle et est fonction des conditions de l'expérience.

Exemple 1
Le lancer d'une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) 0,5. Si le " succès " est l'obtention de pile, " l'échec " sera l'obtention de face.
Exemple 2
On tire au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) une boule dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On considère comme un succès le fait de tirer une boule noire. Cette expérience est une expérience de Bernoulli de paramètre 0,3 car la probabilité de tirer une boule noire est de 3/10.

Sur l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) {succès, échec}, on peut définir une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité...) X prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Cette variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule,...) aléatoire suit une loi de Bernoulli (En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0...). Elle a pour espérance p et pour variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) pq.

Une succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes permet la construction d'une variable aléatoire comptant le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de succès. Cette variable aléatoire a pour loi de probabilité la loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p correspond au modèle suivant :) de paramètres (n, p).

Pour schématiser la succession de plusieurs expériences de Bernoulli indépendantes, on peut construire un arbre de probabilité (En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles) comportant 2n rameaux finaux. Cet arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en général au delà de sept mètres. Les arbres acquièrent une structure...) s'appelle un schéma de Bernoulli.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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