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Espérance mathématique

Espérance : indicateur de chance ou de risque moyen

L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. Elle est égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...) du gain (ou de la perte).

Exemple de la roulette : en jouant un numéro plein, vous avez 1 chance sur 37 (les numéros vont de 0 à 36) de toucher (Le toucher, aussi appelé tact ou taction, est l'un des cinq sens de l'homme ou de l'animal, essentiel pour la survie et le développement des êtres vivants,...) 36 fois votre mise initiale. En misant 10 euros, votre espérance de gain est donc :

-10 + \frac{10 \times 36}{37} = -0,27 (les 10 euros de mise sont dépensés avec une probabilité égale à 1)

Ce score indique qu'en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...), vous perdrez 27 centimes à chaque partie au profit du casino. Lorsque l'espérance est égale à 0, on dit que le jeu est équitable.

Espérance mathématique (L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. Elle est égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité...) et choix rationnel

Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui précède un million un...) d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36; on obtient donc :

\frac{1\,000\,000}{36} - \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055

à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros.

Le problème tient justement sur ce " en moyenne " : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du latin Argentum — et de numéro atomique 47.) pour participer à un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié.

Incidence de la prime de risque

Ce sont ces considérations de risque de ruine (Une ruine est le reste d'un édifice dégradé par le temps ou une destruction plus rapide. Elle apparaît souvent dans la peinture occidentale avec pour effet de donner un caractère romantique au décor. Elle symbolise...) qui conduisirent, à partir de son " paradoxe de Saint Petersbourg ", le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix.

Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux)

  • La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en économie à l'origine du concept d'utilité (et d'utilité dite " marginale ").
  • les primes d'assurance sont d'un coût supérieur à l'espérance mathématique de perte du souscripteur du contrat. Mais c'est ce risque de forte perte en cas d'évènement rare qui l'incite à le souscrire.
  • L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en finance, par exemple pour l'évaluation d'entreprise.
  • La finance comportementale aborde, entre autres, les aspects émotionnels et cognitifs, qui vont au-delà de la simple prime de risque, et qui peuvent interférer avec le concept rationnel d'espérance mathématique à l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il est »), y compris...) du choix.
  • De même que l'on paye une prime pour éviter le risques avec les assurances, on paie au contraire un accès au risque dans les jeux de hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause...) (qui rapportent toujours moins que leur espérance mathématique, puisqu'ils doivent s'autofinancer)

Notion d'utilité probabiliste

Plutôt que de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies.

Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain - si gain il y a - sera qualitatif, sa vie (La vie est le nom donné :) entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un franc.

Aspect mathématique

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne une valeur donnée ou qu'elle prenne une...) est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de...) en statistiques. Elle se note E(X) et se lit espérance de X.

L'espérance se calcule, comme la variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ), à partir des moments d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) aléatoire.

Formules

L'espérance est définie pour les variables aléatoires à valeurs dans R (ou C) de la manière suivante :

  • Cas d'une variable discrète :
    • Si X prend un nombre fini n de valeurs réelles : x1, x2, ..., xn avec les probabilités p1, p2, ..., pn alors
      E(X) = \sum_{i=1}^{n}p_i\, x_i
    • Si X prend un nombre dénombrable de valeurs réelles : x0, x1, ..., xi, .... avec les probabilités p0, p1, ..., pi, .... alors
      E(X) = \sum_{i \in \mathbb{N}}p_i\, x_i si la série converge absolument.
(la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou...) assure que la somme de la série ne dépend pas de la manière de numéroter les termes)
  • Cas d'une variable à densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure...) de probabilité :
    • Si X a pour densité de probabilité (En mathématiques statistiques, on appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X réelle continue une fonction f) f alors
      E(X) = \int_{\mathbb{R}} x\, f(x)\, dx à condition que cette intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à...) existe.
  • Cas d'une application mesurable sur un espace de probabilité
    • Si X est une application mesurable de (Ω, B, p) dans R, positive ou P-mesurable,
      E(X) = \int_{\Omega}X\, dP = \int_{\mathbb{R}}x\, dP_X (où \ P_X est la probabilité image).

Estimation

La loi des grands nombres (La loi des grands nombres a été formalisée au XVIIe siècle lors de la découverte de nouveaux langages mathématiques.) permet de dire que la moyenne empirique de N observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et...) (N grand) de la variable aléatoire X est une bonne estimation de l'espérance de X.

Caractère central

On considère fréquemment l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) de laquelle se dispersent les autres valeurs.
En particulier, si X et 2a - X ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique par rapport à a, alors E(X) = a.

Mais ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) n'est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) 1 avec un dé cubique, on démontre que E(X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. Les valeurs de X ne se répartissent donc pas équitablement de part et d'autre de l'espérance.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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