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Théorie mathématique de la percolation

Le modèle mathématique de la percolation a été introduit par Hammersley en 1957. Il s'intéresse aux caractéristiques des milieux aléatoires, plus précisément aux ensembles de sommets connectés dans un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) aléatoire.

Informellement, imaginons que l'on place de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) au sommet d'une pierre spongieuse. S'il y a assez de petits canaux, il est alors possible qu'il y ait un chemin du centre de la pierre vers l'extérieur. Ce modèle permet de répondre à ce genre de question.

Différents types de percolation
Différents types de percolation (À partir d'une certaine quantité critique de fluide sur une cloison, un pont s'établit permettant au fluide de la traverser)

Cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou...) s'applique à la science des matériaux (La science des matériaux regroupe les domaines qui étudient la matière qui constitue les objets. Cela va des roches (en géologie) aux métaux en passant par les matériaux de construction (génie civil),...), dans le domaine de la percolation.

Description du modèle de base

Nous considérons le réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit...) d-dimensionnel Zd. Les arêtes sont les couples de points à distance euclidienne 1. Nous fixons ensuite un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) p compris entre 0 et 1. Chaque arête est alors ouverte avec probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...) p et fermée avec probabilité 1 − p, ceci indépendamment les unes des autres. La dénomination ouverte signifie que l'arête est gardée, alors que fermée signifie qu'elle est enlevée. On note Pp la mesure obtenue.

On s'intéresse à l'existence d'un chemin infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...) dans le graphe aléatoire ainsi obtenu. Une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) essentielle est la probabilité de percolation : \theta(p)=P_p(O\rightarrow\infty)\,\!. Par des arguments de couplage, il est aisé de démontrer que θ est une fonction croissante de p.

Il existe un point (Graphie) critique pc tel que θ(p) est nulle si p < pc et strictement positive si p > pc. En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) deux, Harry Kesten a démontré qu'on a pc = 1 / 2.

Le régime sous-critique p < pc

Dans ce régime, il n'y a pas de chemin infini dans le graphe. Les composantes connexes (appelé aussi clusters) finis sont généralement de petite taille. Plus précisément la probabilité que le cluster contenant le point x ait une taille qui dépasse n décroît exponentiellement vite avec n. En particulier, la taille moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient...) d'un cluster est finie.

Le régime critique p = pc

Ce régime est encore mal connu (à l'exception notable de la dimension 2). On conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) que θ(pc) = 0, c’est-à-dire qu'il n'y a pas de percolation au point critique, mais ceci n'est pour l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être...) démontré qu'en dimension deux ou en grande dimension d > 18. En particulier, le cas de la dimension trois, dont la pertinence physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) est évidente, demeure non prouvé.

Le régime sur-critique p > pc

Dans la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) surcritique, il y a une unique composante infinie de points connectés. Cependant, les clusters finis sont généralement de petite taille. Le cluster infini rencontre tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) l'espace; plus précisément la proportion de points d'une boîte de taille n qui appartiennent au cluster infini tend vers θ(pc) > 0 lorsque n tend vers l'infini. On sait aussi que le cluster infini est très rugueux: la proportion des points d'une boîte de taille n qui sont à la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les...) du cluster infini parmi la totalité des points du cluster infini qui sont dans cette boïte tend vers 1 − p lorsque n tend vers l'infini.

Autres modèles

  • La percolation orientée qui à des liens avec le processus de contact
  • La percolation FK qui permet de relier la percolation au modèle d'Ising et au modèle de Potts.
  • La percolation de premier passage

Livres de références

  • Percolation de G.R. Grimmett chez Springer
  • Percolation Theory for Mathematicians de Harry Kesten chez Birkhaüser
  • Introduction to Percolation Theory, Taylor and Francis Ed. London, 1985
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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