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Démonstration

En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes, d'établir qu'une assertion est nécessairement vraie.

Les démonstrations utilisent la logique, mais incluent habituellement des éléments du langage naturel (Un langage naturel est une langue « normale » parlée par un être humain.) en évitant tant que possible d'introduire des ambiguïtés.

Dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou...) de la preuve, dans lequel des preuves purement formelles sont considérées, des preuves qui ne sont pas entièrement formelles sont appelées des " preuves sociales ". Ce sont des preuves qui sont basées sur des affirmations considérées comme exactes parce qu'elles sont admises par un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) de personnes. L'idée est acceptée comme exacte lorsqu'elle fait le consensus.

Le résultat qui est démontré s'appelle un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...).

Une fois le théorème démontré, il peut être utilisé comme base pour démontrer d'autres assertions.

Nous pouvons distinguer plusieurs techniques de démonstrations :

  • démonstration directe : où la conclusion est établie en combinant logiquement des axiomes, des définitions et d'autres théorèmes
  • démonstration inductive : où un cas fondamental est démontré, et une règle d'induction est utilisée pour démontrer une série (souvent infinie) d'autres cas
  • démonstration par l'absurde : où il est démontré que si une propriété était vraie, alors une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison,...) apparaîtrait, et ainsi la propriété doit être fausse.
  • démonstration déductive : utilisée pour par exemple montrer l'existence d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné...) à partir de théorème assurant son existence sans avoir construit explicitement cet objet
  • démonstration constructive : qui consiste à construire un exemple concret possédant une certaine propriété, pour montrer qu'il existe au moins un objet ayant cette propriété.

Une assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary) qui est supposée vraie mais qui n'a pas encore été démontrée est appelée une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.).

Parfois il est possible de démontrer qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée à partir d'un ensemble donné d'axiomes; c'est le cas de l'axiome (Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie "qui est considéré comme digne ou convenable" ou "qui est...) du choix et de l'hypothèse du continu vis-à-vis de l'axiomatique de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) de Zermelo-Fraenkel, on dit alors que cette assertion est indépendante de ce système d'axiomes. Dans beaucoup des systèmes d'axiomes communs en mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...), il existe des assertions qui ne peuvent être ni démontrées ni réfutées; voir le théorème d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il faut préciser dans chaque...) de Gödel.

Les démonstrations formelles demandent une très grande rigueur et une attention particulière; nous devons préciser les règles de logique le type de raisonnement que nous utilisons, définir éventuellement de nouveaux objets mathématiques dont nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les...), rappeler les axiomes ou les théorèmes auxquels nous faisons référence, vérifier que nous sommes biens dans les conditions d'application d'un théorème avant de l'utiliser, etc.

D'autre part, il est possible d'écrire toutes les démonstrations en langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas nécessairement de pair) que le...), mais cela se fait rarement. Trop de formalisme rendrait presque impossible la compréhension d'une démonstration et dissimulerait l'idée générale dans un symbolisme excessif. Cependant comme cela est possible en utilisant un logiciel (En informatique, un logiciel est un ensemble d'informations relatives à des traitements effectués automatiquement par un appareil informatique. Y sont inclus les instructions de traitement, regroupées sous forme de...) d'aide à la preuve cela commence à se faire de plus en plus.

Il y a donc un compromis entre une rigueur très poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.) sur le plan de la logique et une rigueur plus superficielle utilisant davantage le langage naturel.

Une démonstration, dans le cadre académique (cours, livre, exposé...) n'est en général pas détaillée au point (Graphie) d'être " juste " au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) de la logique; en général on se contente de donner des éléments suffisamment précis pour que l'auditoire/le lectorat visé soit convaincu. En effet, pour définir 1 proprement, il faudrait déjà des pages et des pages! C'est pourquoi par exemple une démonstration donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) au niveau licence ne conviendra pas à un élève de sup : pour ce dernier, la preuve ne sera pas assez détaillée. En ce sens, une démonstration est quelque chose de très relatif.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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