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En mathématiques, une démonstration (Cet article ou cette section doit être recyclé. Sa qualité devrait être largement améliorée en le réorganisant et en le...) est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes, d'établir qu'une assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition...) est nécessairement vraie.

Les démonstrations utilisent la logique, mais incluent habituellement des éléments du langage naturel (Un langage naturel est une langue « normale » parlée par un être humain.) en évitant tant que possible d'introduire des ambiguïtés.

Dans le contexte (Étape →3/5 : Une relecture a été demandée. • Si vous voyez des erreurs de traduction, vous pouvez...) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage...) de la preuve, dans lequel des preuves purement formelles sont considérées, des preuves qui ne sont pas entièrement formelles sont appelées des « preuves sociales ». Ce sont des preuves qui sont basées sur des affirmations considérées comme exactes parce qu'elles sont admises par un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble, désigne intuitivement une collection d’objets (que l'on appelle éléments...) de personnes. L'idée est acceptée comme exacte lorsqu'elle fait le consensus.

Le résultat qui est démontré s'appelle un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être...).

Une fois le théorème démontré, il peut être utilisé comme base pour démontrer d'autres assertions.

Nous pouvons distinguer plusieurs techniques de démonstrations :

• démonstration directe : où la conclusion est établie en combinant logiquement des axiomes, des définitions et d'autres théorèmes
• démonstration inductive : où un cas fondamental est démontré, et une règle d'induction est utilisée pour démontrer une série (souvent infinie) d'autres cas
• démonstration par l'absurde : où il est démontré que si une propriété était vraie, alors une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) logique apparaîtrait, et ainsi la propriété doit être fausse.
• démonstration déductive : utilisée pour par exemple montrer l'existence d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois...) à partir de théorème assurant son existence sans avoir construit explicitement cet objet
• démonstration constructive (Une première vision d'une démonstration constructive est celle d'une démonstration mathématique qui respecte les...) : qui consiste à construire un exemple concret possédant une certaine propriété, pour montrer qu'il existe au moins un objet ayant cette propriété.

Une assertion qui est supposée vraie mais qui n'a pas encore été démontrée est appelée une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu...).

Parfois il est possible de démontrer qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée à partir d'un ensemble donné d'axiomes; c'est le cas de l'axiome (Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie "qui est considéré comme digne...) du choix et de l'hypothèse du continu vis-à-vis de l'axiomatique de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, on dit alors que cette assertion est indépendante de ce système d'axiomes. Dans beaucoup des systèmes d'axiomes communs en mathématique, il existe des assertions qui ne peuvent être ni démontrées ni réfutées; voir le théorème d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est...) de Gödel.

Les démonstrations formelles demandent une très grande rigueur et une attention particulière; nous devons préciser les règles de logique le type de raisonnement que nous utilisons, définir éventuellement de nouveaux objets mathématiques dont nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un...), rappeler les axiomes ou les théorèmes auxquels nous faisons référence, vérifier que nous sommes biens dans les conditions d'application d'un théorème avant de l'utiliser, etc.

D'autre part, il est possible d'écrire toutes les démonstrations en langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus...), mais cela se fait rarement. Trop de formalisme rendrait presque impossible la compréhension d'une démonstration et dissimulerait l'idée générale dans un symbolisme excessif. Cependant comme cela est possible en utilisant un logiciel (Un logiciel ou une application est un ensemble de programmes, qui permet à un ordinateur ou à un système informatique...) d'aide à la preuve cela commence à se faire de plus en plus.

Il y a donc un compromis entre une rigueur très poussée sur le plan de la logique et une rigueur plus superficielle utilisant davantage le langage naturel.

Une démonstration, dans le cadre académique (cours, livre, exposé...) n'est en général pas détaillée au point (Graphie) d'être « juste » au sens de la logique; en général on se contente de donner des éléments suffisamment précis pour que l'auditoire/le lectorat visé soit convaincu. En effet, pour définir 1 proprement, il faudrait déjà des pages et des pages! C'est pourquoi par exemple une démonstration donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose,...) au niveau licence ne conviendra pas à un élève de sup : pour ce dernier, la preuve ne sera pas assez détaillée. En ce sens, une démonstration est quelque chose de très relatif.