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Bijection

Une fonction fX → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément y de Y admet un unique antécédent x (par f).

De manière équivalente, une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de...) est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi appelées des applications biunivoques. Cantor a le premier démontré que, s'il existe une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) de X vers Y et une injection de Y vers X, alors il existe une bijection entre les deux ensembles (voir Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une...) de Cantor-Bernstein).

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle \mathbb R, une fonction bijective f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R a un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point (Graphie).

Si X et Y sont des ensembles finis, alors il existe une bijection entre les deux ensembles X et Y ssi X et Y ont le même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d’éléments. La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de...) de cela aux ensembles infinis mène au concept de cardinal d’un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...), une façon de distinguer les différentes tailles d’ensembles infinis.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle

Soit f une application de E dans F. f est bijective si et seulement si \forall y \in F,\, \exist! x \in E,\, f(x)=y

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances (Les vacances (au pluriel, du latin vacare, « être sans ») sont une période de temps (de quelques jours, semaines, voire mois) pendant laquelle une personne cesse son activité habituelle (professionnelle,...) où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel (Un hôtel est un établissement offrant un service d’hébergement payant, généralement pour de courtes périodes. Dans sa définition de l’hôtel, l’Agence Mondiale de Notation...). Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).

  • Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
  • L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
  • Ces desiderata sont incompatibles si le nombre de touristes est différent du nombre de chambres. Dans le cas contraire, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout nombre réel arbitraire donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l’équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) y = 2x + 1 d’inconnue x à savoir x = (y − 1)/2.

D’un autre côté, la fonction g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par g(x) = x2 n’est pas bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) g(1) = 1 = g(−1), et donc g n’est pas injective; la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. La...) est qu’il n’y a (par exemple) aucun nombre réel x tel que x2 = −1, et donc g n’est pas surjective non plus.

L’une ou l’autre de ces constatations est suffisante pour montrer que g n’est pas bijective.

D’autre part, si nous définissons la fonction h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+ par la même relation que g, mais avec les ensembles de définition et d’arrivée restreints à \mathbb R_+, alors la fonction h est bijective.

L’explication est que, pour un nombre réel positif donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l’équation y = x2 qui est x = √y.

Propriétés

  • Une fonction fX → Y est bijective si et seulement s’il existe une fonction gY → X telle que g\circ f soit l’application identique (En mathématiques, une application identique ou fonction identique f est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie...) sur X et f\circ g soit l’application identique sur Y. Les bijections sont précisément les isomorphismes dans la catégorie des ensembles. Dans ce cas, g est déterminée de manière unique par f et nous appelons g l’application réciproque de f et nous écrivons f −1 = g. De plus, g est aussi une bijection, et la réciproque de g est f à nouveau.
  • Si f o g est bijective, alors f est surjective et g est injective.
  • Si f et g sont toutes deux bijectives, alors f o g est aussi bijective.
  • Si X est un ensemble, alors les fonctions bijectives de X sur lui-même, forment avec l’opération de composition des applications (\circ), un groupe, le groupe des permutations de X, qui est noté indifféremment S(X), SX, σX ou σ(X).

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Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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