Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout élément y de Y admet un unique antécédent x (par f).
De manière équivalente, une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi appelées des applications biunivoques. Cantor a le premier démontré que, s'il existe une injection de X vers Y et une injection de Y vers X, alors il existe une bijection entre les deux ensembles (voir Théorème de Cantor-Bernstein).
Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle , une fonction bijective a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point.
Si X et Y sont des ensembles finis, alors il existe une bijection entre les deux ensembles X et Y ssi X et Y ont le même nombre d’éléments. La généralisation de cela aux ensembles infinis mène au concept de cardinal d’un ensemble, une façon de distinguer les différentes tailles d’ensembles infinis.
Soit f une application de E dans F. f est bijective si et seulement si
Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).
Considérons la fonction définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout nombre réel arbitraire donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l’équation y = 2x + 1 d’inconnue x à savoir x = (y − 1)/2.
D’un autre côté, la fonction définie par g(x) = x2 n’est pas bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) g(1) = 1 = g(−1), et donc g n’est pas injective; la seconde est qu’il n’y a (par exemple) aucun nombre réel x tel que x2 = −1, et donc g n’est pas surjective non plus.
L’une ou l’autre de ces constatations est suffisante pour montrer que g n’est pas bijective.
D’autre part, si nous définissons la fonction par la même relation que g, mais avec les ensembles de définition et d’arrivée restreints à , alors la fonction h est bijective.
L’explication est que, pour un nombre réel positif donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l’équation y = x2 qui est x = √y.
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