En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.
On note alors le nombre d'éléments de E, ou la cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des...) de E :
Par convention, l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) a pour cardinal 0.
E est fini au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de Dedekind s’il n'est pas infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...), c'est-à-dire si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) avec l'une de ses parties strictes (ou encore : toute injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) de E dans lui-même est surjective). E fini implique E fini au sens de Dedekind, mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) nécessite l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix.
Nous noterons | [a;b] | l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) .
Si F est en bijection avec E, un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une...) non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), alors F est non vide, et card(E) = card(F).
Soit , E un ensemble fini de cardinal n, a un élément de E (qui existe car E non vide). est fini de cardinal n - 1.
Toute partie d'un ensemble fini est finie.
La réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située...) d'ensembles finis est finie. Plus précisément, si A et B sont deux ensembles finis, alors et sont finis, et .