Image réciproque - Définition

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L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f:X\rightarrow Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : f^{-1}(B) = \{x \in X / f(x)\in B\}.

Exemple : Considérons l'application f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}, définie par

1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d

L'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X...) de {a,b} par f est f − 1({a,b}) = {1}.

Notons qu'avec cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...), f-1 devient une fonction dont l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l'...) est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...), il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui...) f-1. Fort heureusement, l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) par f s'identifie avec l'image directe (L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application est le sous-ensemble de Y formé des...) par f-1.

Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties B1 et B2 de Y,
f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2).
f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
  • pour toute partie B de Y, f(f^{-1}(B)) \subset  B.
\forall B\subset Y, f(f^{-1}(B)) =  B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}
  • pour toute partie A de X, A\subset f^{-1}(f(A))
\forall A\subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}
  • pour toutes parties A et B de Y,
f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)
  • Pour toute famille \left(B_i\right)_{i\in I} de parties de Y,
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)

Nous disons en général qu' " avec l'image réciproque tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) est possible ".

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