En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé...) binaire à celle de produit cartésien fini, qui est alors un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de multiplets, on dit n-uplets pour les éléments d'un produit cartésien de n ensembles. On peut aussi introduire la notion de somme disjointe (ou cartésienne). Pour généraliser aux produits cartésiens infinis, des produits d'une famille quelconque (éventuellement infinie) d'ensembles, on a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est...) de la notion de fonction.
Les produits cartésiens doivent leur nom à René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité...), qui, en créant la géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les...), a le premier utilisé ce que nous appelons maintenant, 2 = x pour représenter le plan euclidien et 3 = x x pour représenter l'espace euclidien tri-dimensionnel ( désigne la droite réelle).
Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) ensemble A et tout ensemble B, il existe un unique ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante appartient à A et la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) à B :
Cet ensemble est noté " A x B " (lire " A croix B ") et il est appelé produit cartésien de A par B.
Si on considère couples et produits cartésiens comme une notion primitive, on aura comme axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) cette propriété d'existence et d'unicité. Elle se démontre en théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...), pour la représentation des couples choisie.
Si A est l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } et B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle (Les trèfles sont des plantes herbacées de la famille des Fabacées...) }, alors le produit cartésien de ces deux ensembles est l'ensemble à 52 éléments suivant :
A2 ne doit pas être confondu avec ΔA (lire " delta A "), diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) de A :
Remarque : La diagonale d'un ensemble se confond avec son carré cartésien si et seulement si cet ensemble est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) ou se réduit à un singleton.
En théorie des ensembles, si on choisit, comme usuellement, la représentation des couples de Kuratowski, les couples dont la première composante est dans A et la seconde dans B sont des éléments de [ ( A B ) ] (où ( E ) désigne l' ensemble des parties de E). L'existence de cet ensemble résulte de l'axiome de la réunion (Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques,...) et de l'axiome de l'ensemble des parties.
On peut donc définir le produit cartésien par compréhension, on aura bien sûr besoin des couples, donc, en plus des axiomes précédents, de l'axiome de la paire (En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des...) et du schéma d'axiomes de compréhension :
Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :
Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement :
Il est défini par :
D'après ce qui précède, A x B x C = ( A x B ) x C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A x A x A est appelé cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....) cartésien de A et il est noté A3 (lire " A au cube ") :
Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :
Note : en peut définir des produits cartésiens infinis (voir ci-dessous), mais pour le faire, nous avons besoin de la notion de fonction.
Dans une réunion d'ensembles A∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme { α } × A et { β } × B , où " α " et " β " sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple " Ø " et " { Ø } ", ou " 0 " et " 1 ".
L' union disjointe, encore appelée somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles A et B est ainsi définie par :
On peut remarquer que la somme disjointe de deux ensembles vérifie également la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples de Kuratowski, cette notion, qui n'utilise que des opérations ensemblistes élémentaires, peut s'appliquer aux classes propres. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés, et utilisées ainsi en théorie des classes.
La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles quelconques A, B et C:
On rappelle que l'entier de von Neumann 2 peut se définir comme {Ø, {Ø}}. Plus généralement, l'entier de von Neumann n étant défini, l'entier de von Neumann n+1 est défini par n+1 = n ∪ {n}.
On peut donc généraliser ce qui précède et définir ainsi la somme disjointe de n ensembles quelconques :
D'autre part cette définition de la somme disjointe utilise les entiers de la théorie des ensembles, non ceux du méta-langage. On peut donc également généraliser cette notion à des ensembles quelconques (non nécessairement finis) d'index, par exemple des réunions disjointes dénombrables.
On peut généraliser la notion de produit cartésien à celle de produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble quelconque, fini ou infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...).
Bien que plus générale, cette notion peut difficilement être introduite en théorie des ensembles avant celle de produit cartésien binaire, du moins naturellement, car elle fait appel à la notion de fonction, qui utilise à son tour justement celle de couple, et donc de produit cartésien binaire.[1]
Une famille A d'ensembles indexée par un ensemble I est une fonction définie sur I. L'image de i par A est notée Ai. Il s'agit juste d'une notation (adaptée à un certain usage) pour une construction connue.
On peut maintenant définir le produit cartésien d'une famille d'ensembles { Ai } i∈I, que l'on note habituellement , ou parfois .
Il s'agit de l'ensemble des fonctions f de I dans la réunion de la famille, telles que pour tout i dans I, f(i) appartienne à Ai :
Pour cela, on définit pour tout j dans I, la fonction appelée j-ème projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...),
par :