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Théorème de Pythagore
Version géométrique du théorème
Version géométrique du théorème

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en...) à l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) est nommé d'après Pythagore de Samos qui était un mathématicien, philosophe et astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) de la Grèce antique.

Théorème

La forme la plus connue du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté...) est la suivante :

" Dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée...) rectangle, le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) de l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la...) (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. "

Dans un triangle ABC rectangle en C, AB étant l'hypoténuse, où AB = c, AC = b et BC = a (cf. figure ci-contre), on aura donc :

BC2 + AC2 = AB2

ou encore :

a2 + b2 = c2

Le théorème de Pythagore permet ainsi de calculer la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement développé.) d'un des côtés d'un triangle rectangle si l'on connaît les deux autres. Exemple : avec les notations ci-dessus, soit le triangle rectangle de côtés a = 3 et b = 4; alors la longueur du troisième côté, c, est donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par:

a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = c2

d'où   c = 5.

Un triplet de nombres entiers tel que (3, 4, 5), représentant la longueur des côtés d'un triangle rectangle s'appelle un triplet pythagoricien.

Réciproque

La réciproque du théorème de Pythagore (proposition 47 du premier livre des Éléments d'Euclide) est également vraie :

" Si dans un triangle, la somme des carrés de deux côtés est égale au carré d'un autre côté, alors ce triangle est rectangle "

Le théorème de Pythagore est donc une propriété caractéristique des triangles rectangles.

Autre formulation :

" Si dans un triangle ABC on a AC2 + BC2 = AB2, alors ce triangle est rectangle en C. "

Ceci peut être prouvé en utilisant la loi des cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs...) (ou théorème d'Al-Kashi, déjà connu d'Euclide dans ses Éléments : les propositions 12 et 13 du livre II) qui est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce...) du théorème de Pythagore appliquée à tous les triangles (euclidiens).

Histoire

Que la propriété de Pythagore soit connue depuis l'Antiquité est un fait dont on peut trouver trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma...) dans l'histoire. Il suffit pour cela d'observer la corde à treize nœuds dont se servaient les arpenteurs égyptiens . Cette corde permettait de mesurer des distances mais aussi de construire, sans équerre, un angle droit puisque les 13 nœuds (et les douze intervalles) permettaient de construire un triangle dont les dimensions étaient (3 - 4 - 5), triangle qui s'avère être rectangle. Cette corde restera un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande rentabilisation de ces...) de géomètre pendant encore tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le Moyen Âge.

Le théorème de Pythagore a été utilisé par les magiciens, les gnostiques et les sectes ésotériques. Il s'agit de construire des oppositions entre le matériel et le spirituel, le ciel (Le ciel est l'atmosphère de la Terre telle qu'elle est vue depuis le sol de la planète.) et la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des quatre...), l'humain et le divin, etc. Ainsi, Albert Pike affirme que le théorème de Pythagore constitue le gros secret de la franc-maçonnerie. (lien). Ce théorème révèle en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) que plusieurs de ces sectes rendent un culte secret envers Isis et Osiris.

La plus ancienne représentation de triplets pythagoriciens (triangle rectangle dont les côtés sont entiers) se trouve sur des mégalithes (vers 2500 av. J.-C., Grande-Bretagne). On retrouve aussi la trace de triplets pythagoriciens sur des tablettes babyloniennes (tablette de Plimpton 322 vers 1800 av. J.-C.) qui prouvent que, plus de 1000 ans avant Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplets pythagoriciens.

Mais entre la découverte d'une propriété : " on observe que certains triangles rectangles vérifient cette propriété ", sa généralisation : " il semble que tous les triangles rectangles vérifient cette propriété " et sa démonstration : " il est vrai que tous les triangles rectangles (et eux seuls) dans un plan euclidien vérifient cette propriété ", il faut souvent attendre plusieurs siècles.

Pythagore
Pythagore

Les preuves historiques de la vie (La vie est le nom donné :) de Pythagore sont déjà si rares qu'il n'est pas étonnant qu'on ne puisse pas lui attribuer avec certitude la paternité de la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à...). La première trace écrite figure dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante :

" Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. "
(Livre I, proposition XLVII)

Avec sa réciproque :

" Si le carré de l'un des côtés d'un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l'angle soutenu par ces côtés est droit. "
(Livre I, proposition XLVIII)

Cependant, les commentaires de Proclos des Éléments d'Euclide (environ 400 ap. J.-C.) semblent indiquer qu'Euclide n'aurait fait que retranscrire une démonstration plus ancienne que Proclos attribue à Pythagore.

C'est donc entre le VIe et le IIIe siècle av. J.-C. que l'on peut dater la démonstration de cette propriété. On raconte que c'est à cette occasion qu'aurait été découverte l'existence de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) irrationnel. En effet, il est facile de construire un triangle rectangle isocèle de côté 1. Alors le carré de l'hypoténuse vaudrait 2. Or une démonstration simple accessible du temps de Pythagore prouve qu'aucun rationnel n'a un carré égal à 2. On raconte que cette découverte fut tenue secrète par l'école pythagoricienne sous peine de mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus général,...).

Parallèlement à ces découvertes, il semble qu'en Chine aussi la propriété soit connue. On retrouve trace de l'existence de ce théorème dans un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois le Zhoubi suanjing. Cet ouvrage, écrit probablement durant la dynastie Han (206 av. J.-C. - 220 ap. J.-C.), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (Xe siècle av. J.-C. - 256 av. J.-C.). Une démonstration du théorème, qui porte en Chine le nom de théorème de Gougu (base et altitude), figure dans le Jiuzhang suanshu (Les neuf chapitres sur l'art mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), 100 av. J.-C. - 50 ap. J.-C.), démonstration qui ne ressemble en rien à celle d'Euclide et qui prouve l'originalité de la démarche chinoise.

En Inde, vers 300 av. J.-C., on trouve la trace d'une démonstration numérique de la propriété (preuve effectuée sur des nombres particuliers mais qui peut se généraliser aisément).

D'une propriété géométrique, le théorème de Pythagore prend aussi un développement arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des...) avec la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne...) de tous les triplets d'entiers associés aux trois côtés d'un triangle rectangle : ce sont les triplets pythagoriciens. Cette recherche ouvrira la porte à une autre : la recherche de triplets vérifiant l'égalité an + bn = cn, recherche qui conduit à la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Fermat résolue en 1994 par Andrew Wiles.

Il existe en réalité de nombreuses démonstrations de ce théorème, de celle d'Euclide à celle des Chinois, en passant par celle de l'Inde, celle utilisant des similitudes, celle de Léonard de Vinci et même celle du président américain James Garfield. On ne peut pas passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) sous silence Al Kashi qui donne pour un triangle quelconque une relation dont la formule de Pythagore devient alors le cas particulier du triangle rectangle : le Théorème d'Al-Kashi.

Démonstrations

C'est sans doute le théorème qui possède le plus grand nombre de preuves connues (la loi de réciprocité quadratique se distingue aussi dans ce domaine). En voici trois :

La preuve selon Euclide

Avant de faire la démonstration, il faut prouver deux propositions. La première proposition qu'il nous faut prouver (proposition XXXV dans le 1er livre des Éléments) est l'équivalence de deux parallélogrammes de même base et de même hauteur :

" Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes parallèles, sont égaux entre eux. "

Considérons les deux parallélogrammes ABCD et BCFE, les deux sur la même base, BC, et entre les mêmes parallèles, BC et AF. Observez que AD est égal à BC (car ce sont les deux bases du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) ABCD), et BC est égal à EF (car ce sont les deux bases du parallélogramme BCFE), alors AD est égal à EF.

Or, il n'y a que trois possibilités (montrées dans l'image) pour la position du point (Graphie) E relatif à D ; E peut être à la gauche de D, au point D, ou à la droite de D. Examinons chaque cas:

  1. Si E tombe à la gauche de D, ED est la partie commune de AD et EF, alors il est possible de vérifier que AD et EF sont égaux. Mais notez que les côtés AB et DC sont égaux, car ils sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD. Aussi, parce que les points A, E, D et F sont collinéaires, les angles BAE et CDF sont égaux. Par conséquent, les triangles BAE et CDF sont égaux, parce que deux côtés de l'un sont égaux à deux côtés de l'autre, et un angle est commun. Donc les parallélogrammes ABCD et CBEF ne sont que des différents rangements du trapèze BEDC et le triangle BAE (ou CDF). CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi que le résultat attendu a été démontré.)
  2. Si E tombe au point D, on trouve d'une façon semblable à 1 que les triangles BAE et CDF sont égaux, et alors qu'il est possible d'obtenir les parallélogrammes ABCD et BCFE en ajoutant à la partie commune BCD le triangle BAE (ou bien CDF). CQFD
  3. Si E tombe à la droite de D, notez que, parce que les segments AD et EF sont égaux, en ajoutant à chacun la ligne DE, nous trouvons que AE et DF sont égaux. Par un argument semblable à ceux utilisés dans les cas 1 et 2, il est possible de prouver que les triangles BAE et CDF, et par conséquent les trapèzes BADG et CGEF, sont égaux. Alors, il est évident que les parallélogrammes ABCD et CBEF sont obtenus en ajoutant au triangle commun BCG le trapèze BADG (ou CGEF). CQFD

Le remplacement d'un parallélogramme par un autre de même base et même hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.), justifié par cette proposition, est connu en mathématiques sous le nom de cisaillement. Le cisaillement sera très important dans la preuve de la proposition suivante :

" Si un parallélogramme, et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera double du triangle. "

Considérons un parallélogramme ABCD, et soit E un point sur l'extension de AD. Nous voulons démontrer que l'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) de ABCD est deux fois l'aire de BEC (Un bec, au sens strict, est une structure anatomique externe qui permet la prise alimentaire et donc la nutrition chez les oiseaux. Mais il permet aussi la toilette de l'animal, la nutrition des...). Traçant la diagonale AC, nous voyons que l'aire de ABCD est deux fois l'aire de ABC. Mais, l'aire du triangle ABC est égale à l'aire du triangle BEC, car ils ont la même base. Alors, deux fois l'aire de BEC égale deux fois l'aire de ABC, c'est-à-dire l'aire de ABCD. Nous avons montré que ABCD (qui est double de ABC) est double de BEC. CQFD

Maintenant, nous pouvons continuer la démonstration.

Considérons le triangle ABC rectangle en A. Soient BCED, ABFG et ACIH les carrés des côtés BC, AB et AC respectivement. Soit J l'intersection de AK et de BC. Ce que nous voulons démontrer est que l'aire de BCED est égale à de la somme des aires de ABFG et ACIH. Nous prouvons ce fait en démontrant que l'aire du carré ABFG est égale à l'aire du rectangle BJKD et que l'aire du carré ACIH est égale à l'aire du rectangle CEKJ.

Démontrons la première égalité, notons que les côtés FB et BC sont égaux aux côtés AB et BD, respectivement. Parce que les angles ABF et CBD sont égaux, les angles FBC (FBA + ABC) et ABD (ABC + CBD) sont égaux. Par conséquent, les triangles FBC et ABD sont égaux aussi. Or, notez que, par la proposition XLI, l'aire du carré ABFG est double de celle du triangle FBC et que l'aire du rectangle BJKD est double de celle du triangle ABD. Comme FBC et ABD sont égaux, l'aire de ABFG est bien égale à celle de BJKD.

La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle...) égalité se prouve d'une manière semblable : observant que IC et CB égalent AC et CE, respectivement, et que l'angle ICB égale l'angle ACE, nous concluons que les triangles ICB et ACE sont égaux. Puis, sachant que l'aire du carré ACIH est double de celle de ICB et que l'aire du rectangle CEKJ est double de celle de ACE, et que le triangle ICB est égal au triangle ACE, l'aire de ACIH est donc égale à l'aire de CEKJ.

En conséquence, l'aire de BCED, égale à la somme de l'aire de BJKD et de celle de CEKJ, est bien égale à la somme de l'aire de ABFG et de celle de ACIH. CQFD

Sous cette forme, le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème de Clairaut.

Une preuve du théorème de Guogu (Chine)

Puzzle de Gougu
Puzzle de Gougu

Note : Le théorème de Guogu[1] est reconstitué d'après les commentaires du mathématicien chinois Liu (Liu (chinois : 柳宿, pinyin : liǔ xiù) est une loge lunaire de l'astronomie chinoise. Son étoile référente (c'est-à-dire celle...) Hui (IIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération...) ap. J.-C.) sur le JiuZhang SuanShu ???? " neuf chapitres d'Arithmétique " (206 av.–220 ap. J.-C.), et le Zhoubi Suanjian ????, " l'ombre (Une ombre est une zone sombre créée par l'interposition d'un objet opaque (ou seulement partiellement opaque) entre une source de lumière et la surface...) des cycles, livre de calculs " (un livre d'astronomie).

Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Il est à noter qu'Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe. Dans la figure ci-contre, le triangle rectangle est tracé en gras, le carré du grand côté a été tracé à l'extérieur du triangle, le carré du petit côté et celui de l'hypoténuse sont tournés vers le triangle. Les parties des carrés des côtés de l'angle droit qui dépassent du carré de l'hypoténuse ont été découpées et replacées à l'intérieur de ce carré.

Le triangle rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) est égal au triangle de départ. Le triangle jaune (Il existe (au minimum) cinq définitions du jaune qui désignent à peu près la même couleur :) a pour grand côté de l'angle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. Le triangle bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie en luminosité du...) a pour grand côté de l'angle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial.

Une preuve moderne

Considérons un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs a, b et c. Ensuite recopions ce triangle trois fois et plaçons le triangle et ses copies de manière à avoir le côté a de chacun aligné au côté b d’un autre, et pour que les jambes des triangles forment un carré dont le côté est a + b, comme dans l'image. Puis, nous essayons de trouver l'aire du carré formé par les côtés c. Évidemment, c'est c2, mais c'est aussi égal à la différence entre l'aire du carré extérieur et la somme des aires des triangles. L'aire du carré est (a + b)2 (car son côté est a + b) et l'aire totale des triangles est quatre fois l'aire d'un seul, c'est-à-dire 4(ab / 2), donc la différence est (a + b)2 − 4(ab / 2), ce qu'on peut simplifier comme a2 + 2ab + b2 − 2ab, ou bien a2 + b2. Nous avons démontré que l'aire du carré de côté c est égale à a2 + b2 ; en effet, c2 = a2 + b2. CQFD

Image:Pythagorean proof.svg


Il existe de nombreuses autres démonstrations du théorème de Pythagore ; le vingtième président des États-Unis d'Amérique (L’Amérique est un continent séparé, à l'ouest, de l'Asie et l'Océanie par le détroit de Béring et l'océan Pacifique; et à l'est, de l'Europe et de l'Afrique par l'océan...), James Abram Garfield en développa une lui-même, très voisine de la précédente. L'une des plus intéressantes est la preuve calculatoire basée sur la formule d'Euler. (Voir les liens externes ci-dessous pour une présentation de différentes preuves du théorème de Pythagore).

Variations sur le théorème

Contraposée

La contraposée du théorème affirme ceci :

" Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!, alors le triangle n'est pas rectangle en C. "

Notons que la contraposée est logiquement équivalente au théorème direct, elle n'a en revanche pas le même usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) en démonstration puisque le théorème sert à calculer le troisième côté manquant d'un triangle rectangle alors que la contraposée sert à démontrer qu'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés n'est pas rectangle.

Contraposée de la réciproque

Enfin, la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) ceci :

Si le triangle ABC n'est pas rectangle en C alors AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!

Généralisation à d'autres figures que des carrés

Propriété des lunules
Propriété des lunules

Une autre généralisation du théorème de Pythagore fut déjà énoncée par Euclide dans ses Éléments (Proposition 31 du livre VI) :

" Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui sous-tend l'angle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprennent l'angle droit. "

Autrement dit :

" Si on érige des figures semblables (voir géométrie) sur les côtés d'un triangle droit, alors la somme des aires des deux plus petites figures égale l'aire de la plus grande. "

Cette propriété permet de montrer que l'aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de l'angle droit (voir le théorème des deux lunules).

Utilisations

  • En coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé, le théorème de Pythagore permet d'exprimer la distance entre deux points du plan : ainsi, si A(xa,ya) et B(xb,yb) sont des points du plan euclidien, la distance les séparant est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par :
\sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2}.
En effet, si C est le point de coordonnées (xb,ya), le triangle ACB est rectangle en C, les distances CA et CB sont données par CA= |xb - xa| et CB = |yb - ya| et la distance AB représente l'hypoténuse du triangle rectangle ACB.
  • Plus généralement, dans un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou...) (ou dans un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome...) euclidien) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) finie, la distance de (x_1, \dots, x_k) à (y_1,\dots, y_n) s'écrit
\sqrt{\sum_{k=1}^{k=n}{(x_k-y_k)^2}}.
  • L'identité de Parseval peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme une généralisation du théorème de Pythagore aux familles infinies de vecteurs d'un espace préhilbertien.
  • Le théorème de Pythagore se généralise aussi dans les simplexes de plus haute dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...). Si un tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) possède un coin formé d'angle droit (un coin de cube), alors le carré de l'aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces. Ce théorème est aussi connu sous le nom de théorème de Gua.

Théorème de Pythagore dans d'autres espaces

Écriture vectorielle

En faisant intervenir le concept de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...), on peut reformuler le théorème comme suit :

" Étant donnés deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}, \Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert^2 = \Vert\vec{u}\Vert^2 + \Vert\vec{v}\Vert^2 si et seulement si \vec u et \vec v sont orthogonaux. "

De manière générale, on a simplement l'inégalité triangulaire :

||\vec{u} + \vec{v}||^2 \le ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||

que l'on écrit en général

||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||.

Dans un espace préhilbertien

Le théorème de Pythagore découle en fait directement de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver les...), et se généralise à tout espace préhilbertien. Dans ce cadre général, il affirme que si u et v sont deux vecteurs orthogonaux, alors :

\left\Vert u\right\Vert^2 + \left\Vert v\right\Vert^2 = \left\Vert u+v\right\Vert^2

La réciproque est vraie dans le cas réel.

De plus, cette formule se généralise à une famille de vecteurs orthogonaux. Pour elle, la somme des carrées des normes est égale au carré de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle...) de la somme. Ce résultat très général permet notamment de démontrer l'inégalité de Bessel, et l'égalité de Parseval (L'égalité de Parseval (parfois appelée également Théorème de Parseval ou Identité de Rayleigh) est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au mathématicien français Marc-Antoine...).

En géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.)

Cette propriété résiste mal au transfert dans d'autres géométries à cause de leur courbure :

  • si la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) est positive (géométrie sphérique), on obtient : c2 < a2 + b2 ;
  • si la courbure est négative (géométrie hyperbolique), on obtient : c2 > a2 + b2 ;
  • si la courbure est nulle (géométrie plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes courbes, galbées et...) ou cylindrique), on conserve : c2 = a2 + b2.

Plus précisément, pour tout triangle rectangle sur une sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au...) de rayon R, le théorème de Pythagore prend la forme suivante :

\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right).
En utilisant un développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste .) d'ordre 2 de la fonction cosinus, on retrouve bien, pour des grandes valeurs de R, la formule classique du théorème de Pythagore.
  • Pour tout triangle rectangle en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) hyperbolique, avec une courbure de -1, le théorème de Pythagore prend la forme suivante
\cosh c=\cosh a\,\cosh b
où cosh est le cosinus hyperbolique. En utilisant le développement limité d'ordre 2 de cette fonction, on retrouve bien, pour de petites valeurs des côtés, la forme classique du théorème de Pythagore.

Espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...)

Comme le théorème de Pythagore est dérivé d'axiomes de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite,...), et que les espaces physiques ne sont pas toujours euclidiens, il ne doit pas être valide pour les triangles dans les espaces physiques. L'un des premiers mathématiciens à réaliser ceci fut Carl Friedrich Gauss, qui mesura donc attentivement de grands triangles rectangles dans le cadre de son étude géographique afin de vérifier ce théorème. Il ne trouva aucun contre-exemple avec sa précision de mesure. La théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un...) générale soutient que la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état...) et l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) conduisent l'espace à être non-euclidien et le théorème ne s'applique donc pas strictement en présence d'énergie. Cependant, la déviation par rapport à l'espace euclidien est faible sauf près d'imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d'importantes échelles cosmologiques , c'est-à-dire mesurer la courbure de l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), est un problème ouvert pour la cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.).

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