Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Partenaires
Organismes
 CEA
 ESA
Sites Web
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés dans des droites sécantes, aux triangles isocèles et aux cercles circonscrits. Les Anglo-Saxons nomment d'ailleurs théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès...) une propriété plus proche de la réalité historique (voir théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de Thalès (cercle)).

Cette propriété de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) était connue des Babyloniens. Mais la première démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...) de ce théorème est attribuée à Euclide qui la présente dans ses Éléments (proposition 2 du livre VI) : il la démontre par proportionnalité d'aires de triangles de hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) égale. La preuve de ce théorème est triviale quand on dispose du calcul vectoriel.

Le théorème de Thalès sert notamment à calculer des longueurs dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...), à condition d'avoir deux droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Deux droites ayant un et un seul point commun sont...).

Selon la légende, une application a été de calculer la hauteur des pyramides d'Égypte en mesurant la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de l'ombre (Une ombre est une zone sombre créée par l'interposition d'un objet opaque (ou seulement partiellement opaque) entre une source de lumière...) au sol de chaque pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces...), et la longueur de l'ombre d'un bâton de hauteur donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.).

Énoncés

Triangles homothétiques

La propriété dite " petite propriété de Thalès " concerne un triangle coupé (Un coupé est une voiture fermée, à deux portes (parfois trois avec hayon ou quatre comme l'ont fait certains constructeurs américains) et possédant deux, quatre ou cinq...) par une droite parallèle à l'un de ses côtés.

Thalès

Cette propriété (ainsi que sa réciproque) est généralisée (appelée dorénavant : " théorème de Thalès ") avec deux triangles partageant un même sommet, ayant chacun deux côtés dans le prolongement l'un de l'autre et leur troisième côté parallèle.

Thalès

Pour résumer, lorsque nous sommes dans une situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre...) telle que nous avons :

  • deux droites sécantes,
  • deux points supplémentaires sur chacune des deux droites,
  • deux droites parallèles passant par ces points,

nous pouvons appliquer le théorème de Thalès qui énonce que le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux.

Dans les deux cas, les droites (DE) et (BC) sont parallèles ((DE)//(BC))
et nous avons les égalités :

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

L'utilisation de ce théorème est plutôt visible et directe : le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de conditions nécessaires à son application est faible (mais pas négligeable) et on pourra souvent l'utiliser.

Il permettra par exemple de calculer la longueur de certains segments manquants.

En effet, chaque segment peut se déduire de la mesure de trois autres. Par exemple :

AD = \frac{AB \times AE}{AC}=\frac{AB \times DE}{BC}

et

AB = \frac{AD \times AC}{AE}=\frac{AD \times BC}{DE}

Ou bien de prouver que deux droites ne sont pas parallèles. En effet si l'une des trois égalités n'est pas vérifiée alors forcément les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles. Par exemple : si \frac{AD}{AB}\not=\frac{AE}{AC} ou si \frac{AD}{AB}\not=\frac{DE}{BC} ou si \frac{AE}{AC}\not=\frac{DE}{BC}

Enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un élève par le biais de...)

  • Dans les pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme la civitas qui subsiste le plus souvent sous...) anglo-saxons ainsi qu'en Allemagne, l'approche est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie...) et l'énoncé est : " un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) inscrit dans un demi-cercle est droit " - voir l'article théorème de Thalès anglo-saxon.
  • En France, la " petite propriété de Thalès " est enseignée dès la classe de quatrième. Le " théorème de Thalès " à proprement parler est généralisé en troisième.
  • En Suisse, le théorème est principalement approché grâce à la " petite propriété de Thalès " française. Le " théorème de Thalès suisse " exprime par contre la hauteur dans un triangle rectangle. (lien)

Segments homologues

En réalité, le théorème de Thalès concerne une propriété plus générale:

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels.

Autrement :

Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :
\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}

En permutant les termes moyens des fractions, on peut faire naître d'autres égalités de rapports :

\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{AB}{BC}\qquad \frac{B'C'}{A'C'}=\frac{BC}{AC} \qquad \frac{A'B'}{A'C'}=\frac{AB}{AC}

Ces rapports traduisent la propriété suivante : la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) d'une droite sur une autre, suivant une direction donnée, conserve les proportions.

Remarque : Attention si A\not=A' il ne faut surtout pas utiliser les rapports utilisant les segments rouges comme c'est le cas avec les triangles homothétiques.

Démonstrations

Par les aires

Figure de la preuve

La démonstration de ce théorème a été donnée par Euclide dans le livre VI de ses Éléments, proposition 2. La propriété démontrée par Euclide n'est pas exactement le théorème comme il est cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes sédentarisés libres (pouvant avoir des esclaves), constituant une...) de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son...). Euclide écrit :

" Si l'on conduit une droite qui soit parallèle à l'un des côtés d'un triangle, cette droite coupera les deux autres côtés proportionnellement "

Il précise ensuite

" Si la droite (DE) est parallèle à la droite (BC) alors CE est à EA comme BD est à DA "

Nous allons voir comment ce théorème est démontré par Euclide et comment cette propriété peut induire le théorème sous sa forme actuelle.

Voici la démonstration retouchée en notation et vocabulaire modernes, les passages dans le style euclidien bénéficieront d’un alinéa.

Les triangles ADE et CDE sont entre eux comme leurs bases AE et EC sont entre elles.

Les aires des triangles ADE et CDE sont respectivement ½AE×h’ et ½CE×h’, en effet, ils ont la même hauteur h’.

Les triangles BDE et CDE ont même aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) car ils ont même base DE et même hauteur puisque (BC) est parallèle à (DE)

De même ADE est à BDE comme leurs bases AD et DB sont entre elles.

La troisième hauteur n’est pas dessinée, mais c’est la même chose qu’au début de la preuve.

Récapitulons dans un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de proportionnalités :

AE ADE ADE AD
CE CDE BDE BD

AE est à CE comme ADE est à CDE.
Or CDE=BDE donc ADE est à CDE comme ADE est à BDE.
Enfin ADE est à BDE comme AD est à BD.
Donc on obtient une chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) d’égalités de rapports, on a donc l’égalité des rapports extrêmes, soit

CE est à EA comme BD est à DA.

Pour revenir à la forme plus classique de segments d'origine A, il faut travailler sur le tableau de proportionnalité suivant :

AE EC AE + EC
AD DB AD + DB

qui permet de dire que \frac {AE} {AC} = \frac {AD} {AB}

Fin de la preuve

Il reste à compléter par la dernière fraction. Il suffit d'utiliser la propriété précédemment démontrée dans d'autres triangles. On trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) une droite (EF) parallèle à (AB) . Les proportionnalités précédemment démontrées permettent d'écrire l'égalité des rapports :\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}

Comme BF = DE, on peut conclure sur les égalités :

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Pour démontrer l'égalité dans la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) configuration, il suffit de remarquer que le triangle ADE est isométrique par symétrie de centre A à un triangle AD'E' inscrit dans le triangle ABC. Il vient alors la série d'égalités

\frac{AD'}{AB}=\frac{AE'}{AC}=\frac{D'E'}{BC} = \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Par le calcul vectoriel

Il faut se poser la question de la validité d'une démonstration vectorielle du théorème de Thalès. En effet, la géométrie vectorielle (Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.) s'appuie souvent sur une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) géométrique des vecteurs, définition dans laquelle le théorème de Thalès joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et...) un rôle prépondérant quand il s'agit d'affirmer que k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}.

Mais on peut toutefois s'intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justification grâce aux opérations vectorielles. Ce qui pourrait permettre de généraliser le théorème de Thalès à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des...) euclidien associé à un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.).

Dire que D est sur (AB) c'est écrire qu'il existe un réel x tel que \overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}.

De même, dire que E est sur (AC), c'est écrire qu'il existe un réel y tel que \overrightarrow{AE}=y\overrightarrow{AC}.

Enfin, dire que les droites (ED) et (BC) sont parallèles, c'est écrire qu'il existe un réel t tel que \overrightarrow{DE}= t \overrightarrow{BC}.

Les égalités précédentes et la relation de Chasles permettent d'écrire que :

y\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}
y\overrightarrow{AB}+ y\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}
y\overrightarrow{AB}+ y\overrightarrow{BC}=x\overrightarrow{AB}+ t\overrightarrow{BC}

L'écriture suivant les vecteurs et \overrightarrow{BC} se doit d'être unique car ces vecteurs sont libres. Donc y=x\, et y=t\,

On obtient donc les trois égalités:

\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{DE}=x\overrightarrow{BC}.

L'avantage de cet énoncé et de cette démonstration est que cela n'oblige pas à traiter les différents cas de configuration évoqués plus haut.

Retour au cas de trois droites parallèles

Il suffit de tracer une droite parallèle à (A'C') passant par A. Elle est coupée par la droite (BB') en E et par la droite (CC') en D. On peut alors lui appliquer le théorème de Thalès :

\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}

Comme AE = A'B' et AD = A'C', on peut remplacer dans l'égalité précédente :

\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}

En permutant les extrêmes et en complétant par la dernière proportionnalité, on obtient :

\frac{A'C'}{AC}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'-A'B'}{AC-AB}=\frac{B'C'}{BC}

Théorème réciproque

Le théorème de Thalès, dans son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Sa réciproque permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.

Dans un triangle ABC, si les points A, D, B sont alignés dans cet ordre, si les points A, E, C sont alignés dans cet ordre et si, de plus, les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Des théorèmes analogues existent pour des points A, B, D alignés dans cet ordre et pour des points D, A, B alignés dans cet ordre.

Une démonstration géométrique de cette propriété consiste à construire un point (Graphie) E' tel que (DE') soit parallèle à (BC). Alors les points A, E', C sont alignés dans cet ordre et AE'/AC = AD/AB donc il vient que AE' = AE. Or il n'existe qu'un seul point situé entre A et C vérifiant cette propriété donc E' = E et (DE) est parallèle à (BC).

Un énoncé vectoriel de cette réciproque a le mérite d'être beaucoup plus simple à énoncer et à démontrer :

Dans le triangle ABC, s'il existe un réel x et deux points D et E tels que \overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AC} alors les vecteurs \overrightarrow{DE} et \overrightarrow{BC} ont même direction. Il suffit, pour le prouver, d'utiliser la relation de Chasles :

\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}
\overrightarrow{DE}=x\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{DE}=x\overrightarrow{BC}

En revanche, il n'existe pas de réciproque simple dans le cas de trois droites découpant deux droites en segments proportionnels.

Par exemple : si AB et A'B' sont deux segments de milieux respectifs I et I', on a bien AI/AB = A'I'/A'B'= 1/2 sans pour autant que les droites (AA'), (II') et (BB') soient parallèles.

Si, toutefois, deux des droites sont parallèles, la troisième est alors parallèle aux deux autres.

Comment Thalès calcula-t-il la hauteur de la pyramide ?

Une légende veut que Thalès, lors d'un voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est considérablement développé et démocratisé, au cours du...) en Égypte, soit allé visiter les pyramides construites plusieurs siècles plus tôt. Alors qu'il admirait ces monuments, il fut mis au défi d'en calculer la hauteur.

Thalès entreprit donc une mesure des pyramides, dont le principe repose sur le concept de triangles semblables et de proportionnalité. Thalès remarqua qu'à cette époque de l'année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.), à midi, l'ombre portée (L'ombre portée est la zone soustraite aux rayons lumineux incidents par un objet sur son support. De façon conventionnelle, en dessin technique, l'ombre portée sera d'une valeur plus...) d'un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction, l'homme...) ou d'un bâton égalait la taille de l'homme ou la longueur du bâton. Les rayons de soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type...) pouvant être supposés parallèles, Thalès en déduisit qu'il en serait de même pour la hauteur de la pyramide et son ombre projetée.

Encore fallait-il être capable de mesurer l'ombre projetée : il repéra le sommet de l'ombre projetée mais pour la mesurer dans son entier, il lui fallait partir du centre de la pyramide qui n'était pas accessible. Thalès bénéficia d'un atout supplémentaire: non seulement l'ombre portée égalait la hauteur de la pyramide mais les rayons du soleil étaient perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la...) à une arête de la base. Le sommet de l'ombre de la pyramide se trouvait alors sur la médiatrice d'un côté de la base. Il lui suffit de mesurer la distance séparant l'extrémité de l'ombre et le milieu du côté, d'ajouter à cette longueur un demi-côté pour obtenir la hauteur de la pyramide.

Analyse critique : la pyramide de Khéops est située à une latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) de 30°, la longueur de l'ombre égale celle du bâton lorsque le soleil fait 45° avec la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.). L'angle que forme le soleil avec la verticale varie au cours de l'année entre 6,73° (au plus fort de l'été) et 53,27° (au plus fort de l'hiver) et ne fait un angle de 45° que deux fois dans l'année (le 21 novembre et le 20 janvier). Ce serait un hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) extraordinaire que Thalès se fût trouvé là à cet instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) précis. À toute autre période de l'année, la longueur de l'ombre est proportionnelle à la hauteur. On retrouve alors presque une configuration dite de Thalès. En comparant la longueur de l'ombre et la hauteur du bâton, il est facile de connaître le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et...) de proportionnalité et de l'appliquer ensuite à l'ombre de la pyramide pour en déterminer la hauteur.

Le fait que le sommet de l'ombre de la pyramide soit sur la médiatrice d'un côté à midi ne tient absolument pas du hasard mais du fait que les pyramides sont orientées plein sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) ou plein ouest (L’ouest est un point cardinal, opposé à l'est. C'est la direction vers laquelle se couche le Soleil à l'équinoxe, le couchant (ou ponant).).

Application numérique (En sciences, particulièrement en physique, l'application numérique est l'obtention de la valeur numérique d'une grandeur physique à partir de celles d'autre grandeurs lorsque l'on connaît une formule analytique...)

La pyramide a une base carrée de 232 mètres de côté. On divise cette valeur par deux (116 mètres) et on ajoute la longueur de l'ombre de la pyramide. Admettons que cette ombre soit de 40 mètres. On obtient alors la longueur du segment C (voir figure ci-contre), soit 156 mètres dans notre exemple.

On fait de même avec un bâton de 2 mètres (segment A). On mesure l'ombre dont la longueur est de 2,13 mètres (segment B). Il suffit maintenant d'appliquer le théorème de Thalès avec x la hauteur de la pyramide (soit la longueur du segment D sur la figure) :

\frac{x}{156} = \frac{2}{2,13}

On peut résoudre ce rapport et on obtient :

x = \frac{2\cdot 156}{2,13} \approx 146 mètres

La hauteur de la pyramide mesure donc aux alentours de 146 mètres.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page. La liste des auteurs de cet article est disponible ici.