Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires |
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Le théorème des milieux (Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.) est un cas particulier de la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) du théorème de Thalès (Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème...).
Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...), alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) est égale à la moitié de ce troisième côté.
Ce théorème peut se présenter graphiquement de la manière suivante :
Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu’on veut prouver parallèle à (BC).
Soit K le symétrique de J par rapport à I, on a alors I milieu de [JK] et .
Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...).
Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB].
KBCJ n’est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan par rapport à (KJ), B comme symétrique de A par rapport à I, C comme symétrique de A par rapport à J).
Donc KBCJ est un parallélogramme.
Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC).
Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : .
Remarque : On évite la complication du quadrilatère croisé avec une preuve vectorielle :
C'est un cas particulier du théorème direct de Thalès.
Théorème : Si une droite passe par le mileu d'un des côtés du triangle ABC et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu ( voir ci-dessous )