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Équation du premier degré
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
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Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...)

Une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...) du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) est une équation dans laquelle les puissances de l'inconnue ou des inconnues sont de degré 1 et 0 uniquement comme les problèmes de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) simple. Au pire, ce peut être une équation quelconque qui s'y ramène par des manipulations algébriques.

Par exemples :

  • 13u−8u=3,6×5
  • 4a+7=8
  • r+b×4=0
  • 3d+5d−7−11d=−4

Historique

La résolution des problèmes du premier degré a commencé par les algorithmes babyloniens et égyptiens, elle s'est poursuivie par les méthodes de fausse position au Moyen Âge ou de résolution directe par les arabes puis par les méthodes modernes usant d'un symbolisme.

Résolutions

Fausse position simple

Le principe s'applique lorsqu'il y a proportionnalité dans le phénomène. Il consiste à faire une tentative (une position fausse) et à en déduire la solution.

Nous allons étudier cette méthode dans le cas du problème babylonien suivant :

" J'ai une pierre mais je ne l'ai pas pesée. Après avoir enlevé un septième de son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la...), j'ai pesé le tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) et j'ai trouvé : 1 ma-na (unité de masse). Quel était le poids de la pierre à l'origine ? "

On peut donner une valeur arbitraire (position fausse) au poids de la pierre, par exemple 7. Cette valeur n'est pas complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à...) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.), elle est donnée par le calcul ci-dessous qui fait intervenir de manière simple 6, nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) simple à manipuler en numération sexagésimale babylonienne (en base 60).

Si la pierre pèse 7 ma-na, le septième de 7 étant 1, la pierre allégée pèse 6 ma-na, ce qui est 6 fois plus grand que la valeur cherchée (1 ma-na).

Pour que la pierre allégée pèse un ma-na, il faut donc prendre au départ un pierre 6 fois plus légère donc la solution est sept sixième \frac 7 6.

Attention, cette méthode ne fonctionne que dans certains cas, par exemple si les inconnues sont d'un côté de l'égalité et les nombres connus de l'autre. Parmi les équations proposées dans l'introduction, seule la première est résoluble de cette manière.

Voici l'équation de ce problème, si on appelle p le poids de la pierre : p - \frac p 7 = 1

Fausse position double

Le principe de la double fausse position s'applique lorsqu'il n'y a pas proportionnalité dans le phénomène. Il consiste à faire deux tentatives (trouver deux positions fausses) et à en déduire la solution (ou position exacte). Il est préférable (comme en artillerie) de faire une proposition faible et une proposition forte.

Exemple : Dans ce troupeau de vaches, si on échange le tiers de ces bêtes contre ces 17 belles vaches, le nombre de vaches passe à 41.

  • Première tentative faible : prendre 24 vaches. On en enlève le tiers. Il reste 16 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 33 vaches donc 8 de moins que ce que l'on souhaite.
  • Seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure...) tentative forte : prendre 45 vaches. On en enlève le tiers. Il reste 30 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 47 vaches soit 6 vaches de trop.

Le nombre exact de vaches est alors une moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer la...) des deux tentatives pondérées par les erreurs commises. Bref, le nombre de vaches est \frac{24\times 6 + 45 \times 8}{6 + 8}= 36

Explication mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...)

Voici une tentative d'explication sans faire intervenir de calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n'était pratiqué que le calcul...).

Dans ce problème-ci, on travaille sur un phénomène affine : il n'y a pas de proportionnalité entre le nombre de vaches au départ et le nombre de vaches à l'arrivée mais il y a toujours proportionnalité entre le nombre de vaches ajoutées au départ et le nombre de vaches en plus à l'arrivée :

  • si au départ on prend 3 vaches, à l'arrivée on en a 19
  • si au départ on prend 24 vaches (21 de plus) à l'arrivée on en a 33 (14 de plus)
  • Si au départ on prend 45 vaches (42 de plus), à l'arrivée on en a 47 (28 de plus)

On peut donc construire un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de proportionnalité en comptant le nombre de vaches en plus par rapport au cas de la première fausse position, dans le cas de la position exacte et de la seconde fausse position.

Position Départ Arrivée
exacte ? 8
seconde fausse 45 - 24 14

La règle de la quatrième proportionnelle donne pour le nombre de vaches à ajouter à 24 :

\frac{8\times (45-24)}{14}

c'est-à-dire un nombre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le total n'est pas forcément obtenu...) de vaches de

\frac{8\times 45 + 6\times 24}{14}

On peut admirer le mérite des Indiens et des Chinois, capables de concevoir et appliquer cette méthode sans l'aide de l'algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de...). On peut aussi admirer l'efficacité de l'écriture algébrique qui va rendre ce problème extrêmement simple à résoudre:

Il s'agit de résoudre l'équation x - x/3 + 17 = 41. Cette équation est successivement équivalent à
2x/3 + 17 = 41
2x/3 = 24 on a enlevé 17 aux deux membres de l'équation
x = 24 × (3/2)=36 on a multiplié les deux membres par 3/2
Le nombre initial de vaches est donc de 36

Résolution générale

Les équations du premier degré amènent à une équation du type ax=b.

Il existe alors 3 cas de figure:

  • Si a \neq 0 la solution de l'équation ax=b est en fait la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du quotient, soit x = \frac b a.
  • Si a = 0 et b \neq 0, l'égalité n'a aucune chance de se produire et l'équation n'admet alors aucune solution. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des solutions est alors vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).
  • Si a = 0 et b = 0 alors l'égalité est vraie quelle que soit la valeur de l'inconnue. L'équation admet alors pour ensemble de solution l'ensemble de tous les nombres sur lequel on travaille.

rem: Ces trois distinctions sont valables quand on cherche à résoudre l'équation dans l'ensemble des réels, des rationnels ou des complexes. Quand on cherche à résoudre l'équation dans l'ensemble des entiers, il est possible que la solution proposée b/a ne soit pas entière, on dira alors que l'ensemble des solutions est vide. Enfin, si on sort des ces ensembles, il existe d'autres distinctions (anneau non intègre) qui sortent du cadre des mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est dédiée à ce projet :...).

Quelques exemples

1) Les places à ce spectacle coûtent 12 euros, le groupe doit payer 156 euros. Combien y a -t-il de personnes dans le groupe?

Il s'agit de résoudre dans N l'équation 12x = 156 où x représente le nombre de personnes du groupe.
Solution x = 156/12 = 13. Il y a donc 13 personnes dans le groupe.

2) Les places à ce spectacle coûtent 12 euros, le groupe doit payer 206 euros. Combien y a -t-il de personnes dans le groupe?

Il s'agit de résoudre dans N l'équation 12x = 206 où x représente le nombre de personnes du groupe.
Solution x = 206/12 = 17,166.... Ce n'est pas un nombre entier, le problème ne possède pas de solution, le caissier (Le métier de caissier consiste à tenir la caisse d'une entreprise ou d'une administration : l'exemple le plus connu est le caissier d'une grande surface.) a dû faire une erreur.

3) On cherche à résoudre dans R, l'équation 2x - 2 = 5x - (5 + x)

Les règles de somme et de différence permettent de dire que cette équation est équivalente successivement aux équations suivantes:
2x - 2 = 4x - 5
2x + 3 = 4x on a ajouté 5 aux deux membres de l'équation
3 = 2x on a retranché 2x aux deux membres de l'équation
2x = 3 l'égalité peut se lire dans les deux sens
x = 3/2 c'est le fameux b/a de la règle générale
La solution de l'équation est alors 3/2.

4) On cherche à résoudre dans R, l'équation 2x - 2 = 3x - (5 + x)

Les règles de somme et de différence permettent de dire que cette équation est équivalente successivement aux équations suivantes:
2x - 2 = 2x - 5
2x + 3 = 2x on a ajouté 5 aux deux membres de l'équation
3 = 0.x on a retranché 2x aux deux membres de l'équation
Il n'est pas possible que 3 soit égal à 0 donc l'équation n'admet aucune solution.

5) On cherche à résoudre dans R, l'équation 2x - 5 = 3x - (5 + x)

Une simplification de chaque membre conduit à :
2x - 5 = 2x - 5
Cette égalité est toujours vraie et ne dépend pas de la valeur de x. L'ensemble des solutions est l'ensemble R.

Cas de proportionnalité

Les équations \frac x a = b ou \frac a x = b sont des cas de proportionnalité à connaître.

La solution de la première équation est x = a\times b pour a non nul.

La solution de la seconde équation est x = \frac a b à condition évidemment que a et b soient non nuls.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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