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Détermination orbitale

Le processus préliminaire de détermination orbitale consiste à déterminer à partir d'observations, les six éléments orbitaux qui décrivent l'orbite d'un corps céleste :

Ω, longitude du nœud ascendant
i, inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite autour d'un autre. Il décrit l'angle entre le plan de l'orbite et le plan de référence (généralement le plan de l'écliptique,...) du plan de l'orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) sur le plan fondamental
a, demi grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour décrire la dimension de cette conique. Le demi-grand axe est la moitié du grand axe.)
e, excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.)
ω, angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) du périastre
t0, un des temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de passage au périastre

La difficulté de ce procédé découle du fait qu'une observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude...) nous donne uniquement la direction du corps céleste par rapport à l'observateur et aucune information quant à la distance qui sépare ce corps de l'observateur.

La position de l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise,...) dans l'espace est alors inconnue et les composantes de la vitesse (On distingue :) de ce même objet sont également indéterminées. Il est alors nécessaire d'effectuer des observations supplémentaires à d'autres moments pour augmenter la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) d'information disponible.

Considérons les coordonnées cartésiennes héliocentriques x,\ y,\ z du corps céleste. Celles-ci sont liées aux éléments orbitaux par les relations :

\begin{matrix} x &=& r[\cos(v+\omega)\cos \Omega -\sin(v+\omega)\sin\Omega\cos i] \\ y &=& r[\cos(v+\omega)\sin\Omega+\sin(v+\omega)\cos\Omega\cos i] \\ z &=& r\sin(v+\omega)\sin i \end{matrix}

Les membres de droites de ces équations comportent tous les éléments orbitaux. \Omega,\ i et ω apparaissent explicitement alors que a,\ e et t0 sont représentés indirectement au travers des variables :

r, distance de l'astre, et
v, angle du rayon astre-corps en orbite avec l'axe principal de l'ellipse, orienté vers le périastre.

Le passage des coordonnées héliocentriques écliptiques aux coordonnées géocentriques écliptiques s'effectue par les relations :

\begin{matrix} \xi^\prime &=& x+X \\   \eta^\prime&=& y+Y\\   \zeta^\prime &=& z+Z \end{matrix}

X,Y,Z sont les coordonnées écliptiques géocentriques du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une...) i.e des paramètres connus et \xi^\prime,\ \eta^\prime,\ \zeta^\prime sont les coordonnées géocentriques écliptiques du corps céleste

\begin{matrix}   \xi^\prime &=& \rho\cos\lambda\cos\beta  \\   \eta^\prime&=& \rho\sin\lambda\cos\beta  \\   \zeta^\prime &=& \rho\sin\beta  \end{matrix}

λ et β sont la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).) et la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) du corps respectivement et ρ représente la distance du corps céleste à la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus...) i.e la distance géocentrique (La distance géocentrique d'un corps céleste est la distance qui le sépare de la Terre ou plus précisément du centre de la Terre.) qui est un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) inconnu. Cependant, les positions apparentes d'un corps céleste sont habituellement obtenues en mesurant les écarts angulaires par rapport aux étoiles voisines supposées fixes. Puisque les positions des étoiles sont cataloguées en ascension droite (En astronomie, l'ascension droite (a ou α) est un terme associé au système de coordonnées équatoriales, qui est l'équivalent sur la sphère céleste de la longitude.) et déclinaison, i.e les coordonnées géocentriques équatoriales, les résultats des observations d'un corps céleste sont également donnés dans ces coordonnées. Il est alors nécessaire de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) du repère équatorial au repère écliptique (L'écliptique est le grand cercle sur la sphère céleste représentant la trajectoire annuelle du soleil vue de la Terre. Plus précisement, il s'agit de l'intersection de la sphère céleste avec le plan...). Cette transition s'effectue à l'aide des relations trigonométriques suivantes (trigonométrie sphérique).

\begin{matrix}   \cos\beta\cos\lambda &=& \cos\delta\cos\alpha \\   \cos\beta\sin\lambda &=& \sin\epsilon\sin\delta+\cos\epsilon\cos\delta\sin\alpha \\    \sin\beta &=& \cos\epsilon\sin\delta-\sin\epsilon\cos\delta\sin\alpha \end{matrix}

ε correspond à l'inclinaison du plan équatorial par rapport à l'écliptique. Ces dernières équations nous donnent :

\tan \lambda=\frac{\sin\epsilon\sin\delta+\cos\epsilon\cos \delta\sin\alpha}{\cos\delta\cos\alpha}

Cette dernière équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) permet de déterminer la longitude λ. On déduit également la latitude β. Par substitutions, on obtient :

\begin{matrix}   \rho\cos\lambda\cos\beta &=& r[\cos(v+\omega)\cos\Omega -\sin(v+\omega)\sin\Omega\cos i]-X \\   \rho\sin\lambda\cos\beta &=& r[\cos(v+\omega)\sin\Omega -\sin(v+\omega)\cos\Omega\cos i]-Y \\   \rho\sin\beta &=& r\sin(v+\omega)\sin i-Z \end{matrix}

Notons que la distance héliocentrique (La distance héliocentrique d'un corps céleste est la distance qui le sépare du Soleil. Cette distance est souvent mesurée en unité astronomique (ua). Une ua est la distance moyenne entre la Terre et le Soleil. Une unité astronomique vaut à peu...) r est liée à la distance géocentrique ρ. Ces équations représentent donc un système de trois équations à sept inconnues, les six éléments orbitaux et la distance géocentrique ρ ; les autres quantités, \lambda,\ \beta,\ X, \ Y et \ Z étant toutes connues. Ce système n'admettant pas de solution unique, on peut se poser la question de savoir quel est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) minimal d'observations qu'il est nécessaire d'effectuer pour être en mesure de résoudre le problème de la détermination orbitale (Le processus préliminaire de détermination orbitale consiste à déterminer à partir d'observations, les six éléments orbitaux qui décrivent l'orbite d'un corps céleste :) d'un corps céleste.

Nombre minimum d'observations

Nous venons de voir qu'une observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande participation des...) menée en un temps t1 nous amenait à résoudre un système de trois équations à sept inconnues, à savoir:

\Omega,\ i,\ \omega,\ a,\ e,\ t_0,\ \rho_1

Il est alors évident que deux observations menées aux temps t1 et t2 nous mèneront à un système de six équations à huit inconnues

\Omega,\ i,\ \omega,\ a,\ e,\ t_0,\ \rho_1,\ \rho_2

et de manière analogue, trois observations nous donneront un système de neuf équations à neuf inconnues

\Omega,\ i,\ \omega,\ a,\ e,\ t_0,\ \rho_1,\ \rho_2,\ \rho_3

Dès lors, pour obtenir les éléments orbitaux, il est nécessaire d'effectuer une série de trois observations.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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