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Problème à N corps

Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses initiales.

Il s'agit d'un problème mathématique fondamental pour l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être confondue...) classique, c’est-à-dire dans le cas où les effets de la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont...) générale d'Einstein peuvent être négligés : vitesses des corps petites devant la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière (299 792 458 m/s) a été mesurée dès le XVIIe siècle par l'astronome danois Ole Christensen Rømer qui avait observé en 1676 un retard de quinze minutes dans l'occultation prédite...) dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), et champs de gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) faibles, ce qui est essentiellement le cas dans notre système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis gravitant autour de lui (autrement dit, notre système...).

Le problème à N corps se pose également dans le cadre de la relativité générale ; son étude y est encore plus difficile que dans le cadre newtonien.

Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières premières...) mathématique

q_j(0), \quad\dot q_j(0), j=1,\ldots,n avec q_j(0) \neq q_k(0)

m_j    \ddot q_j       = \gamma \sum\limits_{k\neq j }^{n}  \frac{m_j m_k(q_j-q_k)}{|q_j-q_k|^3}, j=1,\ldots,n \qquad \qquad \qquad

Problème à deux corps

Premier triomphe de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) de Newton, le problème à deux corps, est entièrement soluble analytiquement mouvement keplerien: on dit qu'il s'agit d'un problème intégrable. Tous les étudiants de premier cycle en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) en découvrent un jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil...) les rouages. [1]

Problème à N corps (Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses...)

En dehors de quelques cas rarissimes où une solution exacte est connue, il faut en général recourir à des méthodes de résolutions approchées. Deux approches sont utilisées :

  • la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée...) des perturbations, qui permet de faire des calculs analytiques approchés sous la forme de développements en série.
  • l'analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...). En programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la conception de logiciel (voire de matériel, cf. VHDL).), le problème de la simulation de N corps devrait être théoriquement d'ordre N2, car toutes les interactions de corps deux à deux devraient être considérées a priori. Des considérations de découpage spatial récursif (Voir: Algorithme de Barnes-Hut) permettent cependant d'arriver à de très correctes approximations en un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de l'ordre de NlogN seulement.

Remarque sur le problème à trois corps

Contrairement à une idée répandue, le problème à trois corps possède une solution analytique exacte, découverte par Sundman en 1909 [HE01]. Malheureusement, cette solution se présente sous la forme d'une série infinie qui converge très lentement, ce qui la rend inutile en pratique pour faire des prédictions en un temps raisonnable.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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