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Circuit RC

Un circuit RC est un circuit électrique, l'un des filtres les plus simples, composé d'une résistance et d'un condensateur généralement associés en série, alimenté par une source de tension.

Circuit série

Tension (La tension est une force d'extension.)

Circuit RC série
Circuit RC (Un circuit RC est un circuit électrique, l'un des filtres les plus simples, composé d'une résistance et d'un condensateur généralement associés en série,...) série

On exprime l'impédance (Le terme Impédance est utilisé dans plusieurs domaines:) complexe du condensateur (Un condensateur est un composant électronique ou électrique dont l'intérêt de base est de pouvoir recevoir et rendre une charge électrique, dont la valeur est proportionnelle à la tension. Il se caractérise par sa Capacité électrique. Son...) sous la forme :

Z_C(s) = \frac {1}{Cs} = \frac {1}{jC\omega }

En considérant le circuit comme un diviseur de tension (Le pont diviseur de tension est un montage électronique simple permettant d'obtenir une tension proportionnelle à une autre tension.), il est possible d'écrire :

V_C(s) = \frac {Z_C}{R + Z_C} V_{in}(s) = \frac {1}{1 + RCs} V_{in}(s) = \frac {1}{1+jRC\omega} V_{in}(s)
V_R(s) = \frac {R}{R + Z_C} V_{in}(s) = \frac {RCs}{1 + RCs} V_{in}(s) = \frac {jRC\omega}{1+jRC\omega} V_{in}(s).

Fonction de transfert

La fonction de transfert du condensateur est égale à  :

H_C(s) = { V_C(s) \over V_{in}(s) } = { 1 \over 1 + RCs } = { 1 \over 1 + jRC\omega }

De manière similaire, la fonction de transfert de la résistance est égale à :

H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) } = { RCs \over 1 + RCs } = { jRC\omega \over 1 + jRC\omega }

Pôles et zéros

Les deux fonctions de transfert possèdent un seul pôle à :

s = - {1 \over RC }

De plus, la fonction de transfert de la résistance possède un zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) à l'origine.

Gain et phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :)

Pour un dipôle (D'une manière générale, le mot dipôle désigne une entité qui possède deux pôles. On le retrouve dans plusieurs domaines :), on peut écrire la fonction de transfert sous la forme H(s) = Gejφ, où G est le gain du dipôle et φ sa phase.

En posant s = σ + jω, le gain pour chacun des deux composants du circuit RC est :

G_C = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}

et

G_R = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}

On peut également écrire le gain en décibels, définit par : G_{dB} = 20\times \log{G} = 20\times \log{\left| H_C(s) \right|}, d'où :

G_{dB,C} = 20\times \log{\frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}}

et

G_{dB,R} = 20\times \log{\frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}}

Similairement, leur phase est :

\phi_C = \arctan \left(-\omega RC\right)

et

\phi_R = \arctan \left(\frac{1}{\omega RC}\right),

Intensité

L'intensité du courant est la même dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le circuit, puisqu'il s'agit d'un circuit série :

I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R+Z_C} = { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)

Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle est la transformée de Laplace inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel...) de la fonction de transfert correspondante et représente la réponse du circuit à une impulsion.

Pour le condensateur :

h_C(t) = {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)

u(t) est la fonction de Heaviside (En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction discontinue...) et \tau \ = \ RC est la constante de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).

Pour la résistance :

h_R(t) = - {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)

Domaine des fréquences

L'analyse du circuit dans le domaine des fréquences permet de déterminer quelles fréquences le filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) rejette ou accepte.

Quand \omega \to \infty :

G_C \to 0
G_R \to 1.

Quand \omega \to 0 :

G_C \to 1
G_R \to 0.

Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur le condensateur, les hautes fréquences sont atténuées et les basses fréquences passées, un comportement type d'un filtre passe-bas. Si la sortie est prise sur la résistance, l'inverse se produit et le circuit se comporte comme un filtre passe-haut.

La fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on...) de coupure du circuit est égale à :

f_c = \frac{1}{2\pi RC} (en Hz)

La phase dépend également de la fréquence :

Quand \omega \to 0 :

\phi_C \to 0
\phi_R \to 90^{\circ} = \pi/2.

Quand \omega \to \infty :

\phi_C \to -90^{\circ} = -\pi/2
\phi_R \to 0

Aux fréquences faibles, la tension aux bornes du condensateur est en phase avec celle du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés...) d'entrée, tandis que la tension aux bornes de la résistance est en avance de phase. Aux fréquences élevées, la tension aux bornes de la résistance est en phase avec le signal d'entrée, tandis que la tension aux bornes du condensateur est en retard de phase.

Domaine temporel

En supposant que le circuit est soumis à un échelon de tension en entrée (Vin = 0 pour t = 0 et Vin = V sinon) :

V_{in}(s) = \frac{V}{s}
V_C(s) = V\frac{1}{1 + sRC}\frac{1}{s}
V_R(s) = V\frac{sRC}{1 + sRC}\frac{1}{s}.

La transformée de Laplace inverse de ces expressions donne :

V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)
VR(t) = Ve t / RC.

Dans ce cas, le condensateur se charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être...) et la tension à ses bornes tend vers V, tandis que celle aux bornes de la résistance tend vers 0.

Le circuit RC possède une constante de temps, généralement notée τ = RC, représentant le temps que prend la tension pour approcher sa valeur finale à mieux que 1 / e.

Il est également possible de dériver ces expressions des équations différentielles décrivant le circuit :

\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}
VR = VinVC.

Les solutions sont exactement les même que celles obtenues par la transformée de Laplace.

Intégrateur

A haute fréquence, c’est-à-dire si \omega >> \frac{1}{RC}, le condensateur n'a pas le temps de se charger et la tension à ses bornes reste faible.

Ainsi :

V_R \approx V_{in}

et l'intensité dans le circuit vaut donc :

I \approx \frac {V_{in}}{R}.

Comme,

V_C = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}Idt

on obtient :

V_C \approx \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_{in}dt.

La tension aux bornes du condensateur intègre donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage intégrateur.

Dérivateur

A basse fréquence, c’est-à-dire si \omega << \frac{1}{RC}, le condensateur a le temps de se charger quasiment complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité...).

Alors,

I \approx \frac{V_{in}}{1/j\omega C}
V_{in} \approx \frac{I}{j\omega C} \approx V_C

Maintenant,

V_R = IR = C\frac{dV_C}{dt}R
V_R \approx RC\frac{dV_{in}}{dt}.

La tension aux bornes de la résistance dérive donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage dérivateur.

Circuit parallèle

Circuit RC parallèle
Circuit RC parallèle

Le circuit RC parallèle est généralement d'un intérêt moindre que le circuit RC série : la tension de sortie étant égale à la tension d'entrée, il ne peut être utilisé comme filtre qu'alimenté par une source de courant.

Les intensités dans les deux dipôles sont :

I_R = \frac{V_{in}}{R}
IC = jωCVin.

Le courant dans le condensateur est déphasé de 90° par rapport au courant d'entrée (et de la résistance).

Soumis à un échelon de tension, le condensateur se charge rapidement et peut être considéré comme un circuit ouvert (Un circuit ouvert est un terme utilisé en électronique pour désigner une portion d'un circuit électrique qui n'est reliée à aucune résistance ou aucun élément...), le circuit se comportant dès lors comme une simple résistance.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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