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Moment magnétique

En magnétostatique, soit une distribution de courants permanents à support compact de volume V.

On peut montrer aisément que \iiint_{P \in (V)} \vec{j}(P) \cdot dV_P est nulle. Mais son moment ne l'est pas en général. On définit donc le moment dipolaire magnétique de la distribution par :

\vec{m}  = \frac{1}{2}\iiint_{P\in (V)} \vec{OP} \times  \vec{j}(P) dV_P

indépendant de l'origine O, par conséquent.

Champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la...) créé

Loin d'une distribution de courant, le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique B(M) est infiniment petit équivalent à :

\vec{B}(M) = \frac{\mu_o}{4 \pi} \vec{rot}\ \vec{m} \wedge \frac{\vec r}{r^4} = O(\frac{1}{r^3})

La démonstration directe (Dans une démonstration directe, pour montrer que , on commence par supposer que P est vraie, et on en déduit qu'alors Q doit nécessairement être vraie.) est intéressante mais un peu longue : il est plus simple de faire la remarque que les composantes du potentiel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) se comportent comme celle d'un potentiel électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.), et de se référer à la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) correspondante. En réunissant les trois composantes via m_x \vec{i}, etc. on reconstruit m , d'où la formule précédente.

Torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'il subit de la part d'un...) d'un Champ magnétique \vec{B} sur un moment dipolaire magnétique \vec{m}

Sa somme est nulle si B est uniforme; sinon R = (m.grad)B

Son moment est : M = m/\B.

Si m est constant, on peut définir une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle de m dans le champ B : - m . B

Le moment magnétique (En magnétostatique, soit une distribution de courants permanents à support compact de volume V.) dans la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état...)

Les propriétés magnétiques de la matière s'expliquent par la présence de courants microscopiques dans la matière, liés au mouvement des électrons autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) du noyau, et au moment magnétique propre d'un électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.).

Le moment magnétique \vec{\mu}=i\vec{S}\vec{S} est un vecteur orthogonale à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) sous tendue par i et d'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) égale à son aire (orienté selon la normale d'Ampère)

Un moment magnétique est induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force...) s'il est créé par la présence de \vec{B}. Un moment magnétique induit est toujours opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en face de...) au champ \vec{B} qui l'a créé.

Certains atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est...) (ou molécules) portent des moments magnétiques même si \vec{B}=0, on dit qu'ils portent un moment magnétique permanent.

Le moment magnétique quantique

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...) quantique, on considère que les électrons et autres particules élémentaires possèdent leur propre moment magnétique, qui est lié au moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) intrinsèque des particules. Ce moment cinétique étant proportionnel à \hbar. k , avec k entier pour les bosons , et k demi-entier pour les fermions , on introduit le magnéton de Bohr : \mu := \frac{q}{2m} \cdot \hbar.

Le moment magnétique intrinsèque d'une particule s'écrit alors m = g .μ , où g s'appelle le facteur gyromagnétique de Landé ( au lieu de magnétogyrique !).

Moment magnétique anormal de l'électron

L'équation de Dirac (L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron.) prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à : g = 2. Or, la valeur expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et politique. En science, il s'agit d'approches de...) admise en 2005 vaut :

g \ \simeq \ 2.002 \ 319 \ 304 \ 373 \ 7

Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.) et du deutérium (Le deutérium (symbole 2H ou D) est un isotope naturel de l'hydrogène. Il possède 1 proton et 1 neutron. Son nombre de masse est 2.) [KN02].

Anomalie

On est ainsi amené à introduire une anomalie a, définie par :

g \ = \ 2 \ \left( \, 1 \, + \, a \, \right) \quad \Longleftrightarrow \quad a \ = \ \frac{(g \, - \, 2)}{2}

La théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était...) du modèle standard permet de calculer cette anomalie. La contribution dominante vient de l'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier l'électromagnétisme avec la mécanique quantique en utilisant un formalisme Lagrangien relativiste.) pertubative, et se présente sous la forme d'un développement en série de puissances de la constante de structure fine (La constante de structure fine, représentée par la lettre grecque α, est une constante fondamentale qui régit la force électromagnétique assurant la cohérence des atomes et des molécules. Elle...) α, également appelée constante de couplage. Plus précisément, on est amené a écrire le développement suivant :

a \ = \ A_1 \ \alpha_1  \ + \ A_2 \ \alpha_1^2 \ + \ A_3 \ \alpha_1^3 \ + \ A_4 \ \alpha_1^4 \ + \ o(\alpha_1^4)

en puissances de \alpha_1 = \alpha / \pi  \simeq \ 0.002 \ 322 \ 819 \ 465 \ 36.

Première correction de Schwinger

Le premier terme du développement, calculé par Schwinger en 1948, vaut simplement : A1 = 1 / 2. C'est fut le premier grand succès de la toute nouvelle électrodynamique (L'électrodynamique est la discipline physique qui étudie et traite des actions dynamiques entre les courants électriques.) quantique. Ce calcul, qui repose sur un seul diagramme de Feynman (Un diagramme de Feynman est une représentation symbolique permettant de faire des calculs en théorie quantique des champs perturbative. Ces représentations, inventées par...), est aujourd'hui un exercice standard pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) étudiant de troisième cycle débutant en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) quantique des champs. Malheureusement, les calculs des termes suivants sont beaucoup plus compliqués, car le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de graphes croit exponentiellement vite avec l'ordre du développement.

Correction d'ordre deux

Ce calcul fait intervenir 7 diagrammes de Feynman. Un premier résultat - erroné - a été publié en 1950, puis revu et corrigé en 1957-1958. On obtient [KN02] :

A_2 \ = \ \frac{197}{144} \ + \ \left( \frac{1}{2} - 3 \ \ln 2 \right) \ \zeta (2) \ + \ \frac{3}{4} \ \zeta (3) \ \simeq \ - \ 0.328 \ 478 \ 965 ...

ζ(s) est la fonction zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann, définie par :

\zeta (s) \ = \ \sum_{n=1}^{+ \infty} \ \frac{1}{n^s} \qquad \Re e (s) \ > \ 1

et vérifiant en particulier : ζ(2) = π2 / 6.

Correction d'ordre trois

Ce calcul fait intervenir 72 diagrammes de Feynman. Le calcul, commencé en 1969, n'a été terminé et publié qu'en 1996. On obtient une expression analytique compliquée, qu'on trouvera par exemple dans [KN02] p 101. Numériquement, on obtient :

A_3 \  \simeq \ + \ 1.181 \ 241 \ 456 ...

Correction d'ordre quatre

Ce calcul, qui fait intervenir 891 diagrammes de Feynman, est impossible à faire entièrement à la main ! Il requiert l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) intensif de l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de...). Le meilleur résultat numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite « analogique » qui...), publié en 1999, est [KN02] :

A_4 \  \simeq \ - \ 1.509 \ 8 \ (38 \ 4)

Comparaison théorie - expérience

L'électron étant le lepton (Un lepton est une particule élémentaire qui n'est sensible qu'à l'interaction électrofaible et à la gravitation. Le terme lepton provient du mot grec signifiant « léger » et se réfère à la...) le plus léger, les contributions à son moment magnétique des autres leptons, des bosons vecteurs de l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) faible, et des quarks et gluons, sont petites, mais non négligeables à la précision actuelle. Leurs inclusions donne la prédiction théorique du modèle standard [KN02] :

a_{th} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 153 \ 5 \ (24 \ 0)

L'accord avec le résultat expérimental est à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début...) excellent [KN02] :

a_{exp} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 188 \ 4 \ ( 4 \ 3)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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