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Moment magnétique

En magnétostatique, soit une distribution de courants permanents à support compact de volume V.

On peut montrer aisément que \iiint_{P \in (V)} \vec{j}(P) \cdot dV_P est nulle. Mais son moment ne l'est pas en général. On définit donc le moment dipolaire magnétique de la distribution par :

\vec{m}  = \frac{1}{2}\iiint_{P\in (V)} \vec{OP} \times  \vec{j}(P) dV_P

indépendant de l'origine O, par conséquent.

Champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique créé

Loin d'une distribution de courant, le champ magnétique B(M) est infiniment petit équivalent à :

\vec{B}(M) = \frac{\mu_o}{4 \pi} \vec{rot}\ \vec{m} \wedge \frac{\vec r}{r^4} = O(\frac{1}{r^3})

La démonstration directe est intéressante mais un peu longue : il est plus simple de faire la remarque que les composantes du potentiel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) se comportent comme celle d'un potentiel électrostatique, et de se référer à la démonstration correspondante. En réunissant les trois composantes via m_x \vec{i}, etc. on reconstruit m , d'où la formule précédente.

Torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et...) d'un Champ magnétique \vec{B} sur un moment dipolaire magnétique \vec{m}

Sa somme est nulle si B est uniforme; sinon R = (m.grad)B

Son moment est : M = m/\B.

Si m est constant, on peut définir une énergie potentielle de m dans le champ B : - m . B

Le moment magnétique dans la matière

Les propriétés magnétiques de la matière s'expliquent par la présence de courants microscopiques dans la matière, liés au mouvement des électrons autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit...) du noyau, et au moment magnétique propre d'un électron.

Le moment magnétique \vec{\mu}=i\vec{S}\vec{S} est un vecteur orthogonale à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) sous tendue par i et d'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) égale à son aire (orienté selon la normale d'Ampère)

Un moment magnétique est induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de...) s'il est créé par la présence de \vec{B}. Un moment magnétique induit est toujours opposé au champ \vec{B} qui l'a créé.

Certains atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est...) (ou molécules) portent des moments magnétiques même si \vec{B}=0, on dit qu'ils portent un moment magnétique permanent.

Le moment magnétique quantique

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) quantique, on considère que les électrons et autres particules élémentaires possèdent leur propre moment magnétique, qui est lié au moment cinétique intrinsèque des particules. Ce moment cinétique étant proportionnel à \hbar. k , avec k entier pour les bosons , et k demi-entier pour les fermions , on introduit le magnéton de Bohr : \mu := \frac{q}{2m} \cdot \hbar.

Le moment magnétique intrinsèque d'une particule s'écrit alors m = g .μ , où g s'appelle le facteur gyromagnétique de Landé ( au lieu de magnétogyrique !).

Moment magnétique anormal de l'électron

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à : g = 2. Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut :

g \ \simeq \ 2.002 \ 319 \ 304 \ 373 \ 7

Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium [KN02].

Anomalie

On est ainsi amené à introduire une anomalie a, définie par :

g \ = \ 2 \ \left( \, 1 \, + \, a \, \right) \quad \Longleftrightarrow \quad a \ = \ \frac{(g \, - \, 2)}{2}

La théorie quantique des champs du modèle standard permet de calculer cette anomalie. La contribution dominante vient de l'électrodynamique quantique pertubative, et se présente sous la forme d'un développement en série de puissances de la constante de structure fine (La constante de structure fine, représentée par la lettre grecque α, est une constante fondamentale qui régit la force électromagnétique assurant la cohérence des atomes et des...) α, également appelée constante de couplage. Plus précisément, on est amené a écrire le développement suivant :

a \ = \ A_1 \ \alpha_1  \ + \ A_2 \ \alpha_1^2 \ + \ A_3 \ \alpha_1^3 \ + \ A_4 \ \alpha_1^4 \ + \ o(\alpha_1^4)

en puissances de \alpha_1 = \alpha / \pi  \simeq \ 0.002 \ 322 \ 819 \ 465 \ 36.

Première correction de Schwinger

Le premier terme du développement, calculé par Schwinger en 1948, vaut simplement : A1 = 1 / 2. C'est fut le premier grand succès de la toute nouvelle électrodynamique quantique. Ce calcul, qui repose sur un seul diagramme de Feynman (Un diagramme de Feynman est une représentation symbolique permettant de faire des calculs en théorie quantique des champs perturbative. Ces représentations, inventées par Feynman dans les années...), est aujourd'hui un exercice standard pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) étudiant de troisième cycle débutant en théorie quantique des champs. Malheureusement, les calculs des termes suivants sont beaucoup plus compliqués, car le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de graphes croit exponentiellement vite avec l'ordre du développement.

Correction d'ordre deux

Ce calcul fait intervenir 7 diagrammes de Feynman. Un premier résultat - erroné - a été publié en 1950, puis revu et corrigé en 1957-1958. On obtient [KN02] :

A_2 \ = \ \frac{197}{144} \ + \ \left( \frac{1}{2} - 3 \ \ln 2 \right) \ \zeta (2) \ + \ \frac{3}{4} \ \zeta (3) \ \simeq \ - \ 0.328 \ 478 \ 965 ...

ζ(s) est la fonction zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann, définie par :

\zeta (s) \ = \ \sum_{n=1}^{+ \infty} \ \frac{1}{n^s} \qquad \Re e (s) \ > \ 1

et vérifiant en particulier : ζ(2) = π2 / 6.

Correction d'ordre trois

Ce calcul fait intervenir 72 diagrammes de Feynman. Le calcul, commencé en 1969, n'a été terminé et publié qu'en 1996. On obtient une expression analytique compliquée, qu'on trouvera par exemple dans [KN02] p 101. Numériquement, on obtient :

A_3 \  \simeq \ + \ 1.181 \ 241 \ 456 ...

Correction d'ordre quatre

Ce calcul, qui fait intervenir 891 diagrammes de Feynman, est impossible à faire entièrement à la main ! Il requiert l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) intensif de l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de...). Le meilleur résultat numérique, publié en 1999, est [KN02] :

A_4 \  \simeq \ - \ 1.509 \ 8 \ (38 \ 4)

Comparaison théorie - expérience

L'électron étant le lepton (Un lepton est une particule élémentaire qui n'est sensible qu'à l'interaction électrofaible et à la gravitation. Le terme lepton provient du mot grec signifiant...) le plus léger, les contributions à son moment magnétique des autres leptons, des bosons vecteurs de l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose...) faible, et des quarks et gluons, sont petites, mais non négligeables à la précision actuelle. Leurs inclusions donne la prédiction théorique du modèle standard [KN02] :

a_{th} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 153 \ 5 \ (24 \ 0)

L'accord avec le résultat expérimental est à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle...) excellent [KN02] :

a_{exp} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 188 \ 4 \ ( 4 \ 3)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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