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Loi de Hooke

La loi de Hooke est une loi de comportement des solides soumis à une déformation élastique de faible amplitude. Elle a été énoncée par Robert Hooke, par la phrase en latin :

ut tensio sic vis (ou son anagramme ceiiinosssttuv) (en 1678 ; experiences datant de 1675)

ce qui signifie " telle extension, telle force ", ou bien en termes modernes " l'allongement est proportionnel à la force ". Hooke désirait obtenir une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des ressorts, en soumettant ces derniers à des forces croissantes successives. De sa loi deux aspects sont importants :

  1. la linearité,
  2. l'elasticité.

Ces deux aspects ne sont pas identiques, la linéarité exprime " l'allongement est proportionnel à la force ", l'élasticité exprime que cet effet est reversible et permet donc de revenir a l'état initial tel un ressort soumis à de faible forces. L'élasticité a une limite, qui est indépendante de la notion de linéarité, Hooke n'a considéré que la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) élastique et linéaire, donc proportionnelle et réversible.

C'est en quelque sorte une analogie avec l'allongement l-l0 d'un ressort de constante de raideur k soumis à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) F :

  • l : longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme...) du ressort étiré ou comprimé ;
  • l0 : longueur du ressort à vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

Pour un ressort on a

F = k·(l-l0).

Afin de s'abstraire de la forme de la pièce, et notamment de ses dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...), on divise la force par l'aire de la section de la pièce, grandeur que l'on appelle contrainte σ (exprimée en Pa), et on divise l'allongement par la longueur initiale, grandeur que l'on appelle déformation ou allongement relatif ε (sans dimension).

On note l'allongement relatif ε

\varepsilon = \frac{l-l_0}{l_0}.

On note la contrainte σ (similaire à une pression)

\sigma = \frac{F}{S}

L'analogue de la constante de raideur du ressort est donc le module de Young E.

La loi de Hooke (La loi de Hooke est une loi de comportement des solides soumis à une déformation élastique de faible amplitude. Elle a été énoncée par Robert Hooke, par la...) s'exprime alors sous la forme :

\sigma = E \cdot \varepsilon

E est le module de Young, une caractéristique du matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.), loi valable pour l'étirement ou la compression d'une pièce, les autres dimensions étant libres de s'étendre.

La linéarité provient du fait que l'on est en faible déformation, on peut donc faire une approximation linéaire (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste .) de la loi réelle (développement limité au premier ordre). Il s'agit en fait d'approcher le potentiel interatomique par une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés...), voir l'article Déformation élastique > Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?.

Dans le cas d'une pièce de forme complexe, la loi de déformation globale n'a aucune raison d'être linéaire, mais par contre, chaque élément infinitésimal de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de...) se déforme lui de manière linéaire.

Loi de Hooke généralisée

Dans le cas d'un matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) isotrope, si l'on reprend en compte le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite. Habituellement les...) de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps...) ν, la loi de Hooke devient :

\sigma_{ij}=\frac{E}{1+\nu }\left( \varepsilon_{ij}+\frac{\nu }{1-2\nu } \varepsilon_{kk}\delta _{ij}\right)

avec δij le symbole de Kronecker (En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ...) et εkk est une notation abrégé de la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute résolution...) du tenseur des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur). Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner

\varepsilon _{ij}=\frac{1}{E}\left[ \left( 1+\nu \right) \sigma _{ij}-\nu \sigma _{kk}\delta _{ij}\right]

La forme explicite très simple de ces relations (donnant les déformations en fonction des contraintes)

\scriptstyle\varepsilon _{11} =\frac{1}{E}\left[ \sigma _{11}-\nu \left( \sigma _{22}+\sigma _{33}\right) \right], ~~~ \varepsilon _{22} =\frac{1}{E}\left[ \sigma _{22}-\nu \left( \sigma _{11}+\sigma _{33}\right) \right], ~~~ \scriptstyle\varepsilon _{33} =\frac{1}{E}\left[ \sigma _{33}-\nu \left( \sigma _{11}+\sigma _{22}\right) \right]
\scriptstyle\varepsilon _{12} =\frac{1+\nu }{E}\sigma _{12},~~~\varepsilon _{13}=\frac{1+\nu }{E}\sigma _{13},~~~\varepsilon _{23}=\frac{1+\nu }{E}\sigma _{23}

montre bien la signification physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) du module d'Young E et du coefficient de Poisson ν.

Dans le cas d'un matériau anisotrope (L'anisotropie (contraire d'isotropie) est la propriété d'être dépendant de la direction. Quelque chose d'anisotrope pourra présenter différentes caractéristiques selon la direction.), on définit la contrainte et la déformation localement par un tenseur 3×3, le tenseur des contraintes [σij] et le tenseur des déformations [εij]. Le comportement élastique du matériau est alors modélisé par un tenseur d'ordre 4 [Cijkl] contenant 81 coefficients élastiques. Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur. On a :

\sigma_{ij} =  C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}

en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein).

Du fait de ces propriétés de symétrie, le tenseur Cijkl peut être représenté sous la forme d'une matrice 6x6, où les directions représentent les directions de la déformation.
\begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ C_{1122} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ C_{1133} & C_{2233} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ C_{1123} & C_{2223} & C_{3323} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ C_{1113} & C_{2213} & C_{3313} & C_{2313} & C_{1313} & C_{1312} \\ C_{1112} & C_{2212} & C_{3312} & C_{2312} & C_{1312} & C_{1212} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ \epsilon_{23} \\ \epsilon_{13} \\ \epsilon_{12} \\ \end{pmatrix}

Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, avec les axes de compression/traction notés de 1 à 3 et les axes de cisaillement notés de 4 à 6.

Anecdotes

Ut tensio sic vis est la devise de l'École polytechnique de Montréal (Montréal est à la fois région administrative et métropole du Québec[2]. Cette grande agglomération canadienne constitue un centre majeur du commerce, de l'industrie, de la culture, de la finance et des...).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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