Effet tunnel - Définition - Encyclopédie scientifique en ligne

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Mardi 9 Février 2010

Analyse

Au niveau théorique le comportement tunnel n'est pas fondamentalement différent du comportement classique de la particule quantique face à la barrière de potentiel ; elle satisfait à l'équation de Schrödinger, équation différentielle impliquant la continuité (La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement....) de la fonction d'onde et de sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend,...) première dans tout l'espace. De même que l'équation des ondes électromagnétiques mène au phénomène des ondes évanescentes, de même la fonction d'onde rencontre des cas où l'amplitude de probabilité de présence est non nulle dans des endroits où l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la...) potentielle est supérieure à l'énergie totale.

Si, au niveau mathématique (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...) l'évaluation de l'effet tunnel peut parfois être simple, l'interprétation que l'on cherche à donner aux solutions révèle le fossé qui sépare la mécanique classique, domaine du point (Graphie) matériel suivant une trajectoire définie dans l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de...), de la mécanique quantique où la notion de trajectoire simple disparaît au profit de tout un ensemble de trajectoires possibles, dont des trajectoires où le temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les...) apparaît complexe ou imaginaire pur... où les vitesses deviennent imaginaires.

On notera à ce propos que la durée de traversée tunnel d'une particule à travers une barrière quantique a été, et est encore, le sujet d'âpres discussions. Des études assez nombreuses dans le domaine électromagnétique ou photonique ont révélé l'apparition de ce que l'on peut interpréter comme des vitesses supraluminiques, respectant toutefois la relativité restreinte : il s'agit du phénomène connu sous le nom d'effet Hartman.

Applications

L'effet tunnel est à l'œuvre dans :

les molécules : NH₃, par exemple,
les modélisations des désintégrations (fission, radioactivité (La radioactivité, terme inventé vers 1898 par Pierre Curie, est un phénomène physique naturel au cours duquel des...) alpha),
les transistors,
certaines diodes,
différent types de microscopes,
l'effet Josephson.

Cas particulier : l'effet tunnel résonnant (L'effet tunnel est connu comme d'effet inexplicable avec la mécanique classique. Une particule d'énergie inférieure à...).

Exemples

Une onde plane (L'onde plane est un concept issu de la physique de la propagation des ondes. C'est une onde dont les fronts d'onde sont...) correspondant à une particule d'une masse (La masse est une propriété fondamentale de la matière qui se manifeste à la fois par l'inertie des corps et leur...) effective de 0,067 fois la masse de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de...), d'énergie 0,08 eV est incidente sur une barrière de potentiel rectangulaire simple, de 0,1 eV. Le schéma révèle la densité (La densité est un nombre sans dimension, égal au rapport d'une masse d'une substance homogène à la masse du même volume...) de probabilité de présence associée à cet état stationnaire. Le côté gauche révèle le phénomène d'interférence (En mécanique ondulatoire, on parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se rencontrent. Ce phénomène...) entre l'onde incidente et l'onde réfléchie. La partie tunnel (dans la barrière) provient de la combinaison (Une combinaison peut être :) de deux exponentielles, respectivement décroissantes de gauche à droite, et de droite à gauche. À droite, l'onde plane transmise se révèle par une densité de probabilité de présence constante.

Fonction d'onde d'un électron à travers une barrière de potentiel

Fonction d'onde d'un électron, représentant la densité de probabilité de sa position. La plus grande probabilité est que l'électron "rebondisse". Il existe une faible probabilité que l'électron franchisse la barrière de potentiel.

Analyses mathématiques

Introduction à la notion de transmittivité

La barrière quantique sépare l'espace en trois, dont les parties gauche et droite sont considérées comme ayant des potentiels constants jusqu'à l'infini ( $V G$ à gauche, $V D$ à droite). La partie intermédiaire constitue la barrière, qui peut être compliquée, révélant un profil doux, ou au contraire formé de barrières rectangulaires, ou autres éventuellement en séries.

On s'intéresse souvent à la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de...) des états stationnaires pour de telles géométries, états dont l'énergie peut être supérieure à la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de potentiel, ou au contraire inférieure. Le premier cas correspond à une situation dénommée parfois comme classique, bien que la réponse révèle un comportement typiquement quantique ; le second correspond au cas où l'énergie de l'état est inférieure à la hauteur du potentiel. La particule à laquelle correspond l'état traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails,...) alors la barrière par effet tunnel, ou,autrement dit, si l'on considère le diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des...) énergétique, par effet saute-mouton (L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel,...).

Envisageant une particule incidente depuis la gauche, l'état stationnaire prend la forme simple suivante :

$arphi(x) = \exp(ik_Gx)+r\exp(-ik_Gx)$ pour

x < a

;

$arphi(x) = arphi_{int}(x)$ pour $a \leq x\leq b$ ;

$arphi(x) = t\exp(ik_Dx)$ pour $b \leq x$ ;

où r et t sont respectivement les coefficients de réflexion et transmission en amplitude pour l'onde plane incidente $arphi(x) = \exp(ik_Gx)$ . $arphi_{int}(x)$ est la fonction d'onde à l'intérieur de la barrière, dont le calcul peut être assez compliqué ; elle est liée aux expressions de la fonction d'onde dans les demi-espaces droits et gauches par les relation de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée première.

Assez souvent on s'intéresse à la probabilité de transmission (donnant lieu au courant tunnel, par exemple), et donc on privilégie l'étude du coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par...) de transmission t , plus précisément la valeur en amplitude et phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en...) du coefficient $t_{ab}=\mathcal{T}$ , caractérisant les relations entre l'onde plane incidente, prise à l'entrée a et l'onde plane de sortie prise au point b. La probabilité de transmission est nommée la transmittivité $T= |\mathcal{T}|^2$ .

Ce sont ces transmittivités qui sont présentées dans quelques cas particuliers ci-dessous, limitées (en fait pour certaines formules seulement) au cas tunnel.

Exemples de transmittivités tunnel

barrière rectangulaire simple, associations de barrières simples

La plupart des particularités de l'effet tunnel apparaissent lors de la considération de la barrière de potentiel la plus simple, une barrière rectangulaire symétrique, pour laquelle le potentiel est constant (égal à U) entre les points a et b, et nul à droite et à gauche. Dans ce cas, les vecteurs d'onde incident (réfléchi) et transmis ont même module, noté $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ tandis que la partie intérieure de la fonction d'onde est une combinaison linéaire des fonctions exponentielles décroissante et croissante ( $\exp[-\Kappa\,x]$ et $\exp[\Kappa\,x]$ ), $\Kappa=\sqrt{2m(U-E)}/\hbar$ .

Les conditions de continuité aux interfaces permettent alors aisément d'évaluer les quatre complexes, r, A, B et t. De ce dernier terme, on déduit la transmittivité :

$T= rac{4\Kappa^2k^2}{(\Kappa^2+k^2)^2\sinh^2(\Kappa d)+4 \Kappa^2k^2}$ ,

d étant l'épaisseur de la barrière.

Dans le cas de barrière épaisse ( $Κ d$ grand), l'on obtient la formule simple à retenir :

$T=16 rac{\Kappa^2k^2}{(\Kappa^2+k^2)^2}\;\exp(-2\Kappa d)$ .

Dans ce cas là, on peut considérer la transmittivité comme le produit obtenu par l'approche BKW (cf. infra le terme exponentiel) par un préfacteur qui n'est que le produit des modules carrés des coefficients de transmission propres aux interfaces d'entrée et de sortie.

Cette structure est une forme simplifiée de celle qui apparaît dans le cas d'une barrière de forme quelconque décomposée comme une série de barrières rectangulaires. La structure du calcul repose alors sur la prise en compte d'une écriture matricielle des équations, reliant les composantes progressive et régressive dans chaque couche, permettant l'établissement de la matrice de transfert du mode stationnaire entre l'espace d'entrée et l'espace de sortie.

Cette méthode est illustrée sur le cas d'une structure rencontrée en électronique ou optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière et de ses relations avec la vision.), la barrière tunnel résonnante, constituée d'une barrière d'entrée d'une partie interne de potentiel bas (puits de potentiel, de largeur L) et d'une barrière de sortie (cf. schéma). On montre que, dans le cas où le potentiel dans le puits est constant (définissant un vecteur (En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur...) d'onde réel $k_3=\sqrt{2m(U_b-E)}/\hbar$ ), la transmittivité de la barrière peut s'écrire :

$T= rac{T_E\;T_S}{|1+\,\mathcal{R}_E\,\mathcal{R}_S\;\exp(2ik_3L)|^2}$ ;

dans le numérateur apparaissent les transmittivités des barrières d'entrée et de sortie, et le dénominateur contient, outre les coefficients de réflexion en amplitude des barrières d'entrée de sortie, vues depuis l'intérieur du puits central, un terme exponentiel dont les variations (en fonction de l'énergie et/ou l'épaisseur) sont sources de résonances possibles (la formule est bonne pour des formes quelconques des barrières d'entrée et de sortie).

barrière trapézoïdale

La barrière trapézoïdale est obtenue par l'application d'une différence de potentiel entre les deux extrêmités de la barrière rectangulaire simple. Ce qui donne le schéma suivant, qui offre l'avantage d'admettre des solutions analytiques exactes ; en effet, pour cette barrière l'expression de la fonction d'onde, à l'intérieur est une combinaison linéaire de fonctions d'Airy, Ai et Bi, que l'on peut raccorder aux ondes planes solutions dans les parties gauches et droites.

Un cas particulier apparaît dans le cadre de cette description. Si la différence de potentiel est suffisamment importante pour que la barrière montre l'existence d'un point classique de retour (passage d'une partie tunnel à une partie classique, au point $x 2$ ), on obtient alors l'effet d'émission de champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:), couramment utilisé en microscopie (La microscopie est l'observation d'un échantillon (placé dans une préparation microscopique plane de faible épaisseur)...) électronique. La particule, située en dans la bande de conduction à gauche, traverse par effet tunnel et se trouve accélérée vers l'extérieur, à droite.

Éventuellement, selon les valeurs de l'énergie et la forme de la barrière, des résonances de transmittivité peuvent apparaître, dues au saut de potentiel sur la marche (La marche (le quasi-pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est le mode de locomotion naturel de l'être...) de droite. Cette résonance (Lorsqu'on abandonne un système stable préalablement écarté de sa position d'équilibre, il y retourne, généralement à...) a certains traits communs avec ceux de l'effet Ramsauer. Le schéma ci-contre correspond à une accumulation d'instantanés de la densité de présence associée à un paquet d'onde incident depuis le bas à gauche. L'effet de résonance se manifeste ici par l'apparition des trois maxima dans la partie classique de la barrière. Au terme de la traversée les parties réfléchies et transmises s'éloignent vers le haut de la figure, à gauche et à droite respectivement.

approximation BKW

Dans le cas où la barrière de potentiel présente un profil doux, il est possible de montrer, à partir de l'équation de Schrödinger, ou à partir d'une discrétisation fine du potentiel en une série de petites barrières rectangulaires successives, que la fonction d'onde, en un point de coordonnée x dans la barrière peut s'écrire :

$arphi_{BKW}(x)= rac{1}{\sqrt{k(x)}}\;[A\;\exp(i\int^x\,du\,k(u))\;+\;B\;\exp(-i \int^x\,du\,k(u))].$

Cette approximation, étudiée par Brillouin, Kramers et Wentzel, est manifestement non valide pour les points classiques de retour, $x_1\;,\;x_2$ (cf. schéma), où le potentiel V(x) est égal à l'énergie E de l'état (k(x) est alors nul), il faut procéder avec quelque soin au raccordement de part et d'autre de ces points.

Dans le cadre de l'étude de la transmittivité cette expression est surtout utile dans le cas tunnel, où k(x) devenant imaginaire pur, les deux exponentielles apparaissant dans l'expression ci-dessus correspondent à des termes décroissant de la gauche vers la droite (terme facteur de la constante A) et décroissante de la droite vers la gauche (terme facteur de B). Dans le cas d'une onde incidente venant de gauche, et pour les barrières suffisamment larges, la source de la partie régressive (expression B) est minime. La transmittivité due à cette partie tunnel est alors obtenue par la considération de la diminution de l'amplitude de l'onde entre les points classiques de retour d'entrée et de sortie, soit :

$T_{BKW}=\exp[-2\;\int_{x_1}^{x_2}\;du\;\Kappa(u)]\quad ;\quad \Kappa(u)=\sqrt{ rac{2m}{\hbar^2}(V(u)-E)}\;.$

C'est cette expression qu'il faut alors calculer, par la méthode du potentiel inversé, par exemple. Il faut noter que cette approximation doit être corrigée par des préfacteurs, caractéristiques des potentiels à forte pente (saut de potentiel), que l'on rencontre à l'interface (Une interface est une zone, réelle ou virtuelle qui sépare deux éléments. L’interface désigne ainsi ce que chaque...) entre deux matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.), et qui sont monnaies courantes dans les composants électroniques actuels (puits quantiques).

Approche semi-classique et utilisation du potentiel retourné

Antérieurement au développement des moyens de calculs rapides et puissants, qui permettent des évaluations précises des transmittivités, des méthodes approchées se sont développées qui ont permis, de façon efficace, de découvrir des caractéristiques de quelques transmittivités tunnel de certaines barrières d'importance théorique et pratique : barrière de type coulombien (modèle de radioactivité alpha) ou barrière triangulaire associée à l'effet de champ.

Il s'agit d'évaluer l'argument de l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en...) apparaissant dans l'approximation BKW. Il est aisé de calculer les intégrales pour les potentiels hyperboliques ou linéaires, mais il est intéressant de noter l'approche possible par la méthode du potentiel retourné pour laquelle l'évaluation de $\exp [i \int^x p(u)du/ \hbar]$ est obtenue via celle de $\exp-[ S(E)/2\hbar]$ dans laquelle $S (E)$ est l'action calculée sur l'orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que décrit dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous...) classique que suivrait une particule de même énergie dans le potentiel retourné, obtenu dans le cadre de l'emploi de la symétrie de Corinne.

L'intérêt repose alors sur le fait que pour les barrières suffisamment épaisses, correspondant à des puits larges, l'action est, dans l'approximation semi-classique, sujette à la quantification $S(E)= n\,h$ .

La transmittivité BKW d'une telle barrière s'écrit alors :

$T(E) = \exp[-2\pi n(E)]\,,$

où le nombre quantique n(E) est la fonction réciproque de l'énergie E postulée comme niveau d'énergie discret du puits de potentiel correspondant à la barrière retournée.

Application à la radioactivité alpha

La barrière de potentiel que doit traverser la particule alpha, d'énergie E, après son apparition aléatoire au sein du noyau de numéro atomique (Le numéro atomique (Z) est le terme employé en chimie et en physique pour représenter le nombre de protons du noyau...) Z, est transformée en un puits coulombien, dont les niveaux d'énergies sont ceux d'un hydrogénoïde (Un hydrogénoïde est un ion monoatomique ne possédant (plus) qu'un seul électron tournant autour du noyau, il a alors...). Ceci permet le calcul du nombre n(E) directement à partir de formules bien connues :

$E = - rac{m e^4(Z-2)2}{2\hbar^2} imes rac{1}{n^2 (E)}\,,$

où apparaissent la masse réduite, et les charges de la particule alpha et du noyau fils (numéro atomique Z-1).

Le report du nombre n(E) dans l'expression de la transmittivité révèle alors le comportement observé de la demi-vie (La demi-vie est le temps mis par une substance (médicament, noyau radioactif, ou autres) pour perdre la moitié de son...) (proportionnelle à l'inverse de la transmittivité) des émetteurs alpha en fonction de $\sqrt{E}$ , énergie de la particule rencontrant la barrière.

Application à l'effet Fowler-Nordheim

Sous l'action d'un champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement...) F, on peut faire sortir des électrons d'un métal (charge q, masse m, énergie E par rapport au bas de la bande de conduction), en particulier d'un métal alcalin de travail de sortie $Φ$ . L'électron est alors soumis à un potentiel triangulaire qui peut, en première approximation, être traité par la méthode BKW : la transmittivité qui s'en déduit (compte tenu des points classiques de retour $x 1 = 0$ et $x 2 = (Φ - E) / q F)$ ) est

$T_{BKW}=\exp[-2\;\int_{x_1}^{x_2}\;du\;\Kappa(u)]\;=\;\exp[-2\; rac{\sqrt{2m}}{\hbar qF}\int_{0}^{\Phi-E}\;dX\;\sqrt{X}]$

$\qquad=\exp[-\; rac{4\sqrt{2m}}{3\hbar qF}(\Phi-E)^{3/2}]\;.$

L'obtention du courant tunnel doit bien sûr tenir compte de la distribution en énergie et direction de l'ensemble des électrons de la bande, pour la température (La température d'un système est une fonction croissante du degré d'agitation thermique des particules, c'est-à-dire de...) du conducteur.

Ici aussi la transmittivité aurait pu être obtenue en utilisant un potentiel retourné. Il s'agit alors du demi-puits de Torricelli, dont les niveau d'énergie peuvent être calculés et permettre l'obtention du nombre n(E).

Récupérée de "http://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_tunnel"

Catégorie : Physique quantique

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