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Principe d'incertitude

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Le principe d'indétermination fut énoncé au printemps (Le printemps (du latin primus, premier, et tempus, temps, cette saison marquant autrefois le début de l'année) est l'une des quatre saisons des zones...) 1927 par Heisenberg lors des balbutiements de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout...) quantique.

Les travaux de Planck, Einstein et De Broglie avaient mis à jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début...) que la nature quantique de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide,...) entraînait l'équivalence entre des propriétés ondulatoires (fréquence et vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) d'onde) et corpusculaires (énergie et impulsion) selon les lois : E=\hbar \omega et \vec{p}=\hbar \vec{k}.

La dualité onde-corpuscule confirmée alors par de nombreuses expérimentations posait un problème de fond aux physiciens. En effet, pour posséder une fréquence et un vecteur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de...), un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) doit avoir une certaine extension en espace et en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). Un objet quantique ne peut donc être ni parfaitement localisé, ni avoir une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) parfaitement définie.

De manière simplifiée, ce principe d'indétermination énonce donc que — de façon assez contre-intuitive du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de la mécanique classique — pour une particule massive (Le mot massif peut être employé comme :) donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un...), on ne peut pas connaître simultanément sa position et sa vitesse (On distingue :). Soit on peut connaître précisément sa position (par ex: à ± 1 mm) contre une grande incertitude sur la valeur de sa vitesse (par ex: à ± 100 m/s), soit on peut connaître précisément sa vitesse (par ex: à ± 0,0001 m/s) contre une grande incertitude sur la valeur de sa position (par ex: à ± 1 km).

Cependant, si on renonce à considérer la particule en tant qu'objet corpusculaire, l'énoncé de ce principe devient plus intuitif. L'objet quantique ayant une certaine extension dans l'espace et une certaine durée de vie (La vie est le nom donné :) en temps, on le représente alors, non plus par un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) de valeurs scalaires (position, vitesse), mais par une fonction décrivant sa distribution spatiale. Toute l'information relative à la particule est contenue dans cette fonction d'onde. Les mesures scalaires effectuées sur cette particule consistent à extraire seulement une partie de cette information, par l'intermédiaire d'opérateurs mathématiques.

Historique du terme

Le principe d'incertitude est souvent appelé principe d'indétermination. L'emploi de ces deux termes pour désigner la même notion résulte d'un problème lors de la traduction en anglais de l'article de Heisenberg. En effet, lors de la première rédaction de son article, Heisenberg emploie les termes Unsicherheit (incertitude) et Ungenauigkeit (imprécision), puis, comprenant que ces termes peuvent prêter à confusion, il décide d'utiliser finalement le terme Unbestimmtheit (indétermination). Mais l'article est déja traduit et c'est le terme "principe d'incertitude" qui sera consacré.[1]

Bien que la dénomination " principe d'incertitude " soit la plus usitée, on devrait en toute rigueur parler de " principe d'indétermination ". Cependant l'expression s'est répandue à tel point qu'elle est aujourd'hui acceptée par tous les physiciens. Le terme de " principe " est aussi inapproprié, quoique souvent encore usité. Il conviendrait de parler de relations d'incertitude ou mieux de relations d'indétermination.

En raison de ces connotations philosophiques, aujourd'hui les physiciens parlent des relations d'incertitude, ou des inégalités de Heisenberg, car il s'agit d'une inégalité portant sur des grandeurs physiques non-commutatives.

Les relations de Heisenberg

Considérons une particule massive non relativiste se déplaçant sur un axe.

Description classique

La mécanique classique de Newton affirme que la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) de la particule est entièrement déterminée si l'on connaît à chaque instant : sa position x et sa quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des...) p =  mv (également appelée : impulsion). Ces deux grandeurs physiques réelles ont des valeurs appartenant à \mathbb{R}, variant de -\infty à +\infty. On dit que le couple (x,p) définit l'espace des phases de la particule. Toute grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou phénomène particulier de la physique. Par...) est représentable par une fonction f (x,p) réelle. Cette théorie est conforme à la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois...) aristotélicienne, incluant la notion de tiers exclu : " il faut qu'une porte soit ouverte ou bien fermée. " Du point de vue mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...), on décrit l'état de la particule par un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de grandeurs scalaires.

Description quantique

L'immense effort intellectuel qu'a représenté l'accouchement (L'accouchement (également appelé travail, naissance ou parturition) est l'aboutissement de la grossesse, la sortie d'un enfant de l'utérus de sa mère....) de la mécanique quantique [VN46] réside dans le fait suivant : " il faut abandonner la logique d'Aristote ". La logique quantique, sans notion de tiers-exclu, vient la remplacer.
Cela dit, le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente,...) n'est qu'apparent. Il vient du fait que les grandeurs scalaires classiques sont insuffisantes pour décrire la réalité quantique. On doit faire appel à des fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) infinie.
Les grandeurs classiques ne sont donc en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées.

Notion d'observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un paramètre physique, ou plus généralement une...)

Très curieusement, une grandeur physique, appelée une observable, n'est plus une fonction f (x,p) réelle, mais est représentée par un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) \hat{G} agissant sur un espace de Hilbert \mathcal{H}. La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs propres réelles de cet opérateur [2] :

\hat{G} \, | g_i \rangle = g_i \, | g_i \rangle

Si l'état du système à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) de la mesure est un vecteur | \psi \rangle de l'espace \mathcal{H}, alors ce vecteur admet la décomposition :

| \psi \rangle =  \Sigma_i c_i \, |g_i \rangle

où les ci sont des nombres complexes.

Interprétation probabiliste

Le nombre complexe ci permet de calculer la probabilité pi d'obtenir la valeur gi  :

p_i = | c_i |^2 = c_i \, c_i^*.

La mesure de la grandeur est donc une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne une valeur donnée ou qu'elle prenne une...) (v.a.) avec une espérance E(g) et un écart type (En mathématiques, l'écart type est une quantité réelle positive, éventuellement infinie, utilisée dans le domaine des probabilités pour caractériser la répartition d'une variable aléatoire autour de sa moyenne. En particulier, la moyenne et l'écart...) σ(g) [3]. La mesure est donc de nature probabiliste, ce qui implique beaucoup de paradoxes apparents en logique aristotélicienne. L'un d'entre eux a été immédiatement remarqué par Heisenberg : comme l'opérateur position \hat{x} et l'opérateur quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de...) de mouvement \hat{p} ne commutent pas :

\left[ \hat{q} ,  \hat{p} \right] =  i \, \hbar \,\hat{\Bbb{I}}

on ne peut pas mesurer simultanément ces deux grandeurs : la notion d'espace des phases disparaît en mécanique quantique. L'objet quantique est en fait complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité d'informations qu'il...) décrit par sa fonction d'onde. Les grandeurs scalaires utilisées en physique classique sont insuffisantes et inadéquates.

L'évolution déterministe de Newton est remplacée par une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) d'évolution déterministe de Schrödinger, permettant de prédire de façon certaine l'évolution temporelle des fonctions d'onde (dont le module carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...) est la probabilité, la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) n'étant pas connue a priori).

Inégalité de Heisenberg

Des mesures répétées de la position et de l'impulsion donneront des résultats en général différents à chaque mesure : chaque échantillon (De manière générale, un échantillon est une petite quantité d'une matière, d'information, ou d'une solution. Le mot est utilisé dans différents domaines :) de valeurs sera caractérisé par un écart type : σx pour la position, et σp pour l'impulsion. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Heisenberg démontre que :

\sigma_x  \cdot  \sigma_p  \ge  \frac{\hbar}{2}

\hbar est le quantum d'action. Cette notion est fréquemment vulgarisée par des phrases du type : " Il est impossible de connaître à la fois la position et la quantité de mouvement d’un objet de manière précise ". En effet, si par exemple la position d'une particule est exactement connue, la dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne se propagent pas à la même...) en position est identiquement nulle : σx = 0. L'inégalité de Heisenberg implique alors que \sigma_p = \infty : la dispersion en impulsion doit être maximale.

Principe général de Heisenberg

Le théorème de Heisenberg ne s’applique pas seulement au couple de valeurs position et quantité de mouvement. Dans sa forme générale, il s’applique à chaque couple d'opérateurs \hat{A} et \hat{B} ne commutant pas :

\hat{C}  =   \hat{A}  \hat{B}  -   \hat{B}  \hat{A}  \neq   0

Énoncé du principe de Heisenberg

Pour un état | \psi \rangle donné, on a :

\langle \psi |\sigma_A \ \cdot \ \sigma_B\psi\rangle  \ge \frac{\langle \psi | \hat{C} | \psi\rangle}{2}

où la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer...) du commutateur \langle \psi | \hat{C} | \psi\rangle dépend bien sûr de l'état |\psi \rangle choisi.

Ce théorème général, conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que...), fut mis en évidence en 1930 par Robertson et (indépendamment) par Schrödinger ; l'inégalité est donc aussi connue comme la relation de Robertson-Schrödinger.

Principe ou théorème ?

Les puristes réservent parfois le nom de principe au cas où un minorant non nul de | \langle \psi | \hat{C} | \psi\rangle | existe quel que soit l'état | \psi \rangle. Cela n'est possible que si l'espace de Hilbert est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) infinie. En effet, dans le cas d'un espace de dimension finie, on a :

\mathrm{Tr} \, (\hat{A}\hat{B})  =  \mathrm{Tr} \, (\hat{B}\hat{A}) \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{Tr} \, (\hat{C})  = 0

Il n'y a alors que théorème d'Heisenberg, et non pas principe ; c'est par exemple le cas d'un spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et sa charge...) 1/2.

Autre formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) du principe de Heisenberg

L'inégalité de Heinseberg est souvent écrite :

\Delta{A}  \cdot  \Delta{B}  \ge  \frac{1}{2}  \left|  \left\langle  \left[  \hat{A}, \hat{B} \ \right]  \right\rangle_\gamma  \right|

où :

  • A et B sont deux observables,
  • \hat{A} et \hat{B} les opérateurs correspondants,
  • [\hat{A},\hat{B}] représente le commutateur de \hat{A} et \hat{B},
  • \left\langle\,\right\rangle_\gamma est la moyenne sur l’état notation bra-ket : | \gamma \rangle, et
  • Δ X est l’écart type de X : \sqrt{{\left\langle\hat{X}^2\right\rangle}_\gamma-{ \left\langle\hat{X}\right\rangle}_\gamma^2}.

Relation temps-énergie

Il existe également une relation d'incertitude portant sur l'énergie d'un particule et la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut...) temps. Ainsi, la durée Δt nécessaire à la détection d'une particule d'énergie E à ΔE près[4] vérifie la relation :

\Delta E \, \cdot \, \Delta t   \ge  \frac{\hbar}{2}

Cependant, la déduction de cette inégalité énergie-temps est assez différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une...) de celle des inégalités position-impulsion[5]. En effet, si le Hamiltonien est bien le générateur des translations dans le temps en mécanique hamiltonienne, indiquant que temps et énergie sont conjugués[6], il n'existe pas d'opérateur temps en mécanique quantique (" théorème " de Pauli), c’est-à-dire qu'on ne peut pas construire d'opérateur \hat{T} qui obéirait à une relation de commutation canonique avec l'opérateur Hamiltonien \hat{H} :

\left[ \hat{H} ,  \hat{T} \right] =  i  \hbar  \hat{\Bbb{I}}

ceci pour une raison très fondamentale : la mécanique quantique a en effet été inventée pour que chaque système physique stable possède un état fondamental d'énergie mininum[7].

Perspective historique

Il est clair que l'abandon de la logique d'Aristote à cause de la nature probabiliste de la mesure a suscité un vif émoi dans la communauté scientifique : John von Neumann (John von Neumann, mathématicien et physicien américain d'origine hongroise, a apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en...) est un des tous premiers à écrire sur la logique quantique [BVN36], suivi par Mackey [MA63].

La controverse Einstein-Bohr est par ailleurs célèbre : pour Einstein, " Dieu ne joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert...) pas aux dés ! ", ce à quoi Bohr répondra : " Einstein, cessez de dire à Dieu ce qu'Il doit faire ". Le paradoxe EPR (Le paradoxe Einstein-Podolsky-Rosen, abrégé en EPR, est une expérience de pensée élaborée par Albert Einstein, Boris Podolsky, et Nathan Rosen, et dont le but premier était de réfuter l'interprétation de Copenhague de la physique quantique.) entraînera Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935. Après avoir construit des avions de combat durant la Seconde Guerre mondiale, mais aussi le premier avion à...) via ses inégalités à renoncer à la notion classique de localité (Une localité est une agglomération habitée de taille indéterminée, en général peu importante, qui peut éventuellement être le chef-lieu d'une circonscription administrative.) [BE64]. Cette hypothèse sera confirmée par l'expérience d'Aspect en 1982 ; cette expérience sera encore raffinée par Zeilinger en 1998 [AS01]. Le paradoxe du chat de Schrödinger (L'expérience du chat de Schrödinger fut imaginée en 1935 par le physicien Erwin Schrödinger, afin de mettre en évidence des lacunes supposées de l'interprétation de Copenhague de la physique quantique, et...) conduira à une réflexion profonde sur le rôle du couplage à l'environnement et la décohérence des intricats [HA97], [OM00], [IHP05]. D'où la progression fulgurante de la cryptologie quantique, de la téléportation quantique (La téléportation quantique est une technique discutée dans le cadre de la théorie quantique de l’information pour transférer un état quantique à travers l’espace, en utilisant des états intriqués...), réalités techniques en 2005, et de l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement...) quantique, encore balbutiante en 2005.

Difficulté d'interprétation

Exemples

Cette corrélation d'incertitudes est parfois expliquée de manière erronée en affirmant que la mesure de la position modifie obligatoirement la quantité de mouvement d'une particule. Heisenberg lui même offrit initialement cette explication en 1927. Cette modification ne joue aucun rôle, car le théorème s'applique même si la position est mesurée dans une copie du système, et la quantité de mouvement dans une autre copie parfaitement identique.

Une meilleure analogie serait la suivante : soit un signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit des temps par les hommes pour communiquer...) variable dans le temps, comme une onde sonore, et soit à connaître la fréquence exacte de ce signal à un instant t précis. Ceci est impossible en général, car pour déterminer précisément la fréquence, il faut échantillonner le signal pendant une certaine durée [8]. En traitement du signal, cet aspect est au cœur de l'approche temps-fréquence du spectrogramme où l'on utilise le principe d'incertitude sous la formulation de Gabor.

Le théorème d'Heisenberg s'applique en particulier à l'expérience cruciale des fentes d'Young avec un photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette...) unique : toutes les ruses qu'inventent les physiciens pour tenter de voir passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) la "particule" à travers un des trous, détruisent la phase et donc les interférences de l'onde : il y a complémentarité de Bohr, c’est-à-dire que si avant toute mesure , l'état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information possible...) | ψ > décrit à la fois un aspect ondulatoire et un aspect corpusculaire, après la mesure , il subsiste un aspect ondulatoire ou un aspect corpusculaire. Selon la phrase célèbre de Dirac , la " particlonde[9]  " a interféré avec elle-même.

Cette expérience est présentée au Palais de la Découverte (Le Palais de la découverte est un musée et centre culturel scientifique parisien. Il est situé dans le VIIIe arrondissement, avenue Franklin-Delano-Roosevelt. Il a...) avec une source de photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement...) unique. Le motif produit par des millions de photons passant à travers les fentes peut être calculé à l'aide de la mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode. En 2005, on a même réussi cette expérience avec des fullerènes, ces grosses molécules de carbone (Le carbone est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole C, de numéro atomique 6 et de masse atomique 12,0107.) contenant 60 atomes !

La controverse Bohr-Einstein

Einstein n'aimait pas le théorème d'incertitude. Lors du 5ème congrès Solvay (Les conseils Solvay (aussi appelés congrès Solvay et conférences Solvay) sont des conférences scientifiques en physique et en chimie qui se sont tenues depuis 1911. Au...) (1927), il soumit à Bohr un fameux défi expérimental : nous remplissons une boîte avec un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) radioactif qui émet de manière aléatoire une radiation (Le rayonnement est un transfert d'énergie sous forme d'ondes ou de particules, qui peut se produire par rayonnement électromagnétique (par exemple : infrarouge) ou par une désintégration (par exemple : radioactivité α). Par...). La boîte a une fente qui est ouverte et immédiatement fermée par une horloge de précision, permettant à quelques radiations de sortir. Donc le temps est connu avec précision. Nous voulons toujours mesurer précisément l'énergie qui est une variable conjuguée. Aucun problème, répond Einstein, il suffit de peser la boîte avant et après. Le principe d'équivalence entre la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) et l'énergie donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations d'un référentiel, ni les interactions...) permet ainsi de déterminer précisément l'énergie qui a quitté la boîte. Bohr lui répondit ceci : si de l'énergie avait quitté le système alors la boîte plus légère serait montée sur la balance. Ce qui aurait modifié la position de l'horloge. Si l'horloge dévie de notre référentiel stationnaire, par la relativité restreinte il s'ensuit que sa mesure du temps diffère de la notre, ce qui conduit inévitablement à une marge d'erreur. En fait l'analyse détaillée montre que l'imprécision est donnée correctement par la relation d'Heisenberg. Voir par exemple le site de la fondation Nobel pour une figure de cette " horloge dans la boîte ".

Dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, largement acceptée mais pas universellement, le théorème d'incertitude implique qu'à un niveau élémentaire, l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) physique ne " vit " pas dans un espace des phases, mais plutôt comme un ensemble de réalisations potentielles, exactement déterminées en probabilité : les probabilités sont, elles, déterminées avec une précision absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus...), pour autant que l'état du système soit pur (c’est-à-dire qu'il ne soit pas lui-même déterminé approximativement !)

États comprimés

En fait , pour contourner les inégalités d'Heisenberg, les physiciens réalisent des états dits comprimés (en franglais : états " squeezés  "), où il n'y a aucune incertitude sur la phase (mais alors le nombre de particules est indéterminé) ou, au contraire, un nombre bien déterminé de particules (en particulier de photons), mais on perd l'information sur la phase. Il a été montré par les travaux de Glauber (prix Nobel 2005) que l'information quantique n'est pas entachée par le théorème d'Heisenberg. On peut donc espérer tirer le maximum d'information quantique d'une photographie numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite « analogique »...), tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) en respectant le deuxième principe de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en...)[10].

Claustrophobie quantique

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

La claustrophobie quantique est la tendance qu'ont les particules à vibrer frénétiquement lorsqu'elles sont confinées dans un milieu très petit. Les systèmes deviennent fluctueux à des échelles microscopiques.

Constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille des quanta. Elle joue un rôle central dans la mécanique quantique et a été nommée d'après le physicien Max Planck.)

Les fluctuations de ces systèmes sont de l'ordre de 10-33, autrement dit, la constante de Planck notée \hbar\,[11]. Ce comportement "turbulent (Le HMS Turbulent (n° de coque : S 87) est un bâtiment de la classe Trafalgar de sept sous-marins nucléaires d'attaque de la Royal Navy.)" s'explique par le principe d'incertitude d'Heinsenberg.

Conséquences

Cela veut dire, que si ? était plus grand, ces comportements turbulents se manifesteraient non plus à des échelles subplanckienne mais aux échelles macroscopiques. Deux dés dans une boîte se mettraient à virevolter frénétiquement si la constante de Planck était plus élevée.

Interprétations philosophiques du principe d'incertitude

Le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) des mots

Pour mieux comprendre le débat (Un débat est une discussion (constructive) sur un sujet, précis ou de fond, annoncé à l'avance, à laquelle prennent part des individus ayant des avis, idées, réflexions ou opinions...) qui a suivi l'introduction de ces relations d'indétermination, il importe de préciser le sens des mots .

"Déterminer" signifie fixer, définir ((de) : bestimmen, (en) : determine). Ceci peut être réalisé avec plus ou moins de précision ((de) : Genauigkeit, (en) : precision), ce qui n'est pas tout à fait la même chose que certitude ((de) : Sicherheit, (en) : certainty).

En fait, les deux dernières notions s'opposent parfois : si une grandeur est mesurée avec une certaine imprécision autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) d'une valeur, on sera d'autant plus certain de la situer dans une fourchette autour de cette valeur que cette fourchette est large. Mais évidemment, prendre une fourchette large correspond à une mauvaise précision. Par exemple, on estime classiquement que l'erreur de mesure, qui correspond à une grande multiplicité de facteurs possibles est une variable aléatoire gaussienne, dont on est censé capable d'estimer l'écart type. Si l'on prend une fourchette de 1 écart-type de part et d'autre de la valeur mesurée, on a une probabilité de 68% d'être dans le vrai, ce qui correspond à une faible certitude ; pour 2 écarts-types, on a 95%, ce qui se rapproche d'une bonne certitude, pour 3, on a 99,7%, ce qui commence à faire une certitude solide, au prix d'une précision relativement floue. Comme en fait l'écart-type n'est pas aussi bien connu qu'on le souhaiterait, on se contente souvent d'une précision de 2 écarts-types de part et d'autre de la valeur mesurée, et d'une certitude de 95%. On compte sur les progrès des techniques, la diversité des méthodes, et l'expérience accumulée pour préciser les conclusions.

"Indéterminé" veut donc dire imprécis, indéfini ou mal défini, flou, vague (Une vague est un mouvement oscillatoire de la surface d'un océan, d'une mer ou d'un lac. Les vagues sont générées par le vent et ont une amplitude...), indécis, irrésolu ; dont les limites ne sont pas précisément définies; se dit en mathématiques de systèmes dont au moins l'une des données est inconnue ou aléatoire ((de) : unbstimmt, (en) : undetermined).

On parle aussi de motif déterminant, ou d'une cause déterminante, qui décide d'une chose ou d'une action, élément déclenchant d'un phénomène physique, donc essentiel, décisif, prépondérant, et surtout cause d'un comportement subséquent unique. D'où le débat sur "causalité" et "déterminisme".

Quant à l'incertitude, c'est le caractère d'imprécision d'une mesure, d'une conclusion, le vague d'une perception ou d'une image, l'imprévisibilité du résultat d'une action ou d'une évolution, l'impossibilité de prévoir exactement un fait ou un événement.

L'incertitude désigne aussi la quantité mesurant la limite de l'erreur éventuelle pouvant affecter une mesure: c'est initialement dans ce sens technique que ce mot a été utilisé pour désigner les quantité Δq, Δp et leur produit.

L'interprétation subjective: l'incertitude

Heisenberg, Born, et avec eux toute l'école de Copenhague (L'école de Copenhague ou interprétation de Copenhague est un courant de pensée qui présente la mécanique quantique comme un simple instrument de prédiction, et pour...), ont insisté sur le fait que les relations d'indétermination causent une incertitude sérieuse pour l'observateur, particulièrement les physiciens qui s'appuient sur l'expérimentation (L'expérimentation est une méthode scientifique qui consiste à tester par des expériences répétées la validité d'une hypothèse et à obtenir des données quantitatives...). Ils ont souligné l'impossibilité de connaître à la fois la position et la vitesse ou la quantité de mouvement d'une particule, et que l'instrument utilisé pour mesurer agit sur le corpuscule et donc le modifie.

" Ces relations indiquent les limites à l'intérieur desquelles la théorie corpusculaire est applicable. Employer les mots “position”, “vitesse” avec une précision dépassant les limites imposées par l'équation n'a pas plus de valeur qu'employer des mots dont le sens n'a pas été défini. (…) " 

Les expériences destinées à la détermination d'une grandeur physique rendent illusoire la connaissance d'autres grandeurs, car elles perturbent d'une manière incontrôlable le système en observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande participation des amateurs...), et, par suite, modifient les valeurs des grandeurs antérieurement déterminées... Les relations d'indétermination se rapportent au degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) de précision possible pour la connaissance présente des valeurs simultanées de diverses grandeurs de la théorie des quanta" (Heisenberg, idem).

Lois à caractère statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de les rendre...)

Une conséquence majeure fut que les lois de la microphysique ont alors pris une tournure statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données. Dans...). Les ondes de matière qui décrivaient les quanta devinrent des ondes de probabilité.

Congrès Solvay, 1927 : " Les discontinuités introduisent dans la physique de l'atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps...) un élément statistique. Cet élément statistique constitue une partie essentielle des bases de la mécanique des quanta ; d'après celle-ci, l'allure d'une expérience, dans beaucoup de cas, ne peut être déduite des conditions initiales que d'une manière statistique... La mécanique des quanta représente un fusionnement de la mécanique et de la statistique. "

Pauli à Heisenberg : " En opposition avec tous les efforts rétrogrades (Schrödinger, Bohm et dans un certain sens Einstein), je suis persuadé que le caractère statistique de la fonction ψ, et par suite des lois de la nature, que vous avez dès l'origine soutenu énergiquement contre l'avis (Anderlik-Varga-Iskola-Sport (Anderlik-Varga-Ecole-Sport) fut utilisé pour désigner un projet hongrois de monoplace de sport derrière lequel se cachait en fait un monoplace de chasse destiné au Legüyi...) de Schrödinger, détermineront le style de toutes les lois pour au moins quelques siècles".

Excès de l'interprétation subjective

Pour le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de...) qui étudiait les éléments encore peu connus de la microphysique, il était prudent de s'en tenir au point de vue subjectif (celui du sujet qui mesure) sans trop se soucier de la nature intime des corpuscules qui reste hors d'atteinte (l'objet observé). Et il reste vrai que, encore aujourd'hui, cette mécanique statistique demeure la plus efficace.

Cependant des excès ont affaibli cette école :

  • Exagération de l'importance de l'indétermination au point de nier la notion de trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.), alors que les écarts restent petits et qu'ils se compensent en partie.
  • Exagération de l'interférence (En mécanique ondulatoire, on parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se rencontrent. Ce phénomène apparaît souvent en optique avec les ondes lumineuses, mais il s'obtient également...) entre l'instrument de mesure (En physique et en sciences de l’ingénieur, mesurer consiste à comparer une grandeur physique qui caractérise un objet (ou un événement) avec celle de même nature choisie comme unité de mesure. La valeur numérique de la grandeur...) et l'objet mesuré, qui masque que l'indétermination puisse être objective.
  • Exagération de l'opposition entre sujet et objet. Postulat de séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans...) entre observateur et observé (nourri de Kant). Tendance à couper la microphysique des lois macroscopiques. Finalement, idéologie de l'inconnaissabilité du monde (Le mot monde peut désigner :).
  • Refus d'étudier le comportement d'une particule individuelle, au point que seule la considération des flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens...) serait légitime : " Tout essai pour pénétrer dans le mécanisme des relations entre ondes et particules… serait inutile et dénué de sens " (Dirac). A quoi de Broglie rétorque que sa théorie de l'onde-pilote " a le mérite d'exister alors que (ce) raisonnement… a la prétention de lui interdire d'exister ".

L'interprétation objective

Einstein et de Broglie ont très tôt marqué leur insatisfaction de l’interprétation de l'équipe Born-Heisenberg, et la tendance serait aujourd'hui à reconnaître le caractère objectif de l'indétermination, par exemple que l'onde de lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge)....) positionne effectivement ses photons de part et d'autre de l'axe de la trajectoire, aléatoirement.

De Broglie : de la fonction préalablement "normée" " on a cru pouvoir conclure que l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.) était présent à l'état potentiel dans tout l'atome avec probabilité. Mais comme l'électron est certainement une très petite particule dont on connaît les dimensions très inférieures à celle de l'atome, une telle affirmation n'est pas acceptable. C'est comme si je disais que telle personne, dont je connais les habitudes et qui a telle ou telle probabilité de se trouver actuellement dans tel ou tel quartier de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre...), était répandue à l'état potentiel dans toute la ville ! La seule manière raisonnable d'interpréter le fait qui paraît prouvé que l'électron a une certaine probabilité d'être présent à un point quelconque de l'atome d'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.) est d'admettre qu'il est constamment animé d'un mouvement brownien qui le fait se déplacer continuellement et aléatoirement dans tout l'atome."

Einstein: " Il y a quelque chose qui est l'état réel d'un système physique, qui existe objectivement, indépendamment de toute observation ou mesure, et qui peut en principe se décrire par les moyens d'expression de la physique. " Mais on ne saurait interpréter sa boutade " Dieu ne joue pas aux dés " comme un rejet de toute indétermination (il disait aussi que " la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) ne peut être tenue responsable du fait que les êtres humains tombent amoureux "), mais comme l'exigence d'une analyse des causes plus détaillée que la description statistique de flux.

Trois points principaux dans ce débat :

  • À l'indétermination observée par le sujet qui mesure, correspond une détermination aléatoire par l'onde de matière elle-même. L'incertitude n'est qu'une conséquence. Ce sont les ondes de matière qui positionnent des corpuscules avec une relative indétermination.
  • L'indétermination provient du caractère discontinu de la matière qui, ne pouvant diviser un quantum élémentaire, dans les cas de division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque...) indéfinie nécessairement aura un plus ou un moins.
  • Nul besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois...) de connaître précisément son mode opératoire (Un mode opératoire consiste en la description détaillée des actions nécessaires à l'obtention d'un résultat. On parle aussi de process ou de processus. Le mode opératoire décrit...) pour admettre que l'onde détermine les positions et vitesse de ses corpuscules de façon variable. Il suffit d'admettre qu'elle se détermine "tant qu'elle peut" (comme nous faisons nous-mêmes dans nos comportements).

Excès de l'interprétation objective

L'excès consisterait à croire que d'éventuelles découvertes nouvelles pourraient dissoudre la dimension aléatoire. Heisenberg disait que le mode d'existence des particules n'est pas identique à celui des objets macroscopiques. De l'énergie potentielle qui devient onde de matière, puis corpuscule durable, puis atome, il y a des degrés dans l'évolution de la matière.

Déterminisme et causalité

Les relations d'indétermination ont engendré une profusion d'écrits mettant en question le déterminisme et (ce qui est plus grave) le principe de causalité.

On est passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une échelle des...) d'une conception ultra (ULTra (pour (en)« Urban Light Transport ») est un système de transport individuel de type Personal Rapid Transit (PRT), autrement dit un moyen de transport automatique collectif...) déterministe de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai...) (voir citation de d'Holbach dans Déterminisme) à une négation de toute causalité. Par exemple :

Max Born : " Il est clair que le dualisme onde-corpuscule et l'incertitude essentielle qu'il implique nous obligent à abandonner tout espoir de conserver une théorie déterministe. La loi de causalité... n'est plus valable, du moins plus au sens de la physique classique. Quant à la question de savoir s'il existe encore une loi de causalité dans la nouvelle théorie, deux points de vue sont possibles. Soit on persiste à envisager les phénomènes à l'aide des images d'onde et corpuscule, alors la loi de causalité n'est certainement plus valable... La loi de causalité est donc sans contenu physique ; la nature des choses impose que la physique soit indéterministe ".

John von Neumann : " En physique macroscopique, aucune expérience ne peut prouver la causalité, car l'ordre causal apparent n'y a pas d'autre origine que la loi des grands nombres (La loi des grands nombres a été formalisée au XVIIe siècle lors de la découverte de nouveaux langages mathématiques.), et cela tout à fait indépendamment du fait que les processus élémentaires, qui sont les véritables processus physiques, suivent ou non des lois causales... C'est seulement à l'échelle atomique, dans les processus élémentaires eux-mêmes, que la question de la causalité peut réellement être mise à l'épreuve : mais à cette échelle, dans l'état actuel de nos connaissances, tout parle contre elle, car la seule théorie formelle s'accordant à peu près avec l'expérience et la résumant est la mécanique quantique, qui est en conflit logique avec la causalité... Il ne subsiste aujourd'hui aucune raison permettant d'affirmer l'existence de la causalité dans la nature ".

Ces positions sont excessives car, si des causes identiques pouvaient produire des effets vraiment différents, il ne pourrait y avoir ni science (qui est la reconnaissance des causes invariantes), ni règles et, sans doute, ni homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction, l'homme prépubère est appelé un...) ni rien de stable.

Deux notions ont été confondues qui ne se recouvrent pas exactement. La causalité n'implique pas qu'une même cause génère des effets rigoureusement identiques et absolument uniformes, avec une précision infinie tant de la cause que de l'effet. Mais c'est ce que suppose l'idéologie du Determinismus qui nie toute possibilité d'écart, de marge de manœuvre, de liberté.

Ce déterminisme est la causalité plus l'hypothèse supplémentaire de continuité, d'enchaînements strictement continus qui seuls pourraient produire des choses absolument en tous points identiques. Cette conception s'était insinuée avec l'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les...) mathématique, où la continuité et l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre...) servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à abréger le raisonnement, et avec les idées de Newton qui postulait que " la nature ne connaît pas de limites ". L'introduction de la discontinuité fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) (le quantum de Planck) a ruiné cette continuité idéale, et l'indétermination partielle qui en découle a ruiné le déterminisme mécaniste d'automate (Un automate est un dispositif se comportant de manière automatique, c'est-à-dire sans intervention d'un humain. Ce comportement peut être figé, le système fera toujours la même chose, ou bien peut s'adapter à son environnement.). Mais le principe de causalité simple demeure.

Il reste que le principe d'incertitude interdit de déterminer avec une précision arbitraire à la fois le module et la phase de la fonction d'onde, dans quelque représentation que ce soit. Or les deux sont nécessaires pour prévoir l'évolution d'un système. La causalité —exprimée par exemple par l'équation de Schrödinger— ne nous permet pas d'atteindre à une conséquence pratique.

Indétermination et liberté

" Est dite libre la chose qui existe d'après la seule nécessité de sa nature et qui détermine elle-même son action. A l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel...) on appelle nécessaire, ou plutôt contrainte, la chose qui est déterminée par une autre à exister et à produire un effet selon une raison définie et déterminée " (Spinoza).

A quoi s'ajoute ces remarques de Lucrèce, qui avait compris la limitation de la représentation mécaniste et la nécessité d'écarts. Son fameux clinamen, qui introduit la liberté que tout strict mécanisme exclut, correspond à l'indétermination quantique, comme on le voit quand on traduit atome par corpuscule :

" Les corpuscules descendent en ligne droite… mais il leur arrive, on ne saurait dire où ni quand, de s'écarter un peu de la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.), si peu qu'à peine on peut parler de déviation. Sans cet écart ils ne cesseraient de tomber… il n'y aurait point lieu à rencontres, à chocs, et jamais la nature n'aurait rien pu créer... C'est pourquoi il faut que les corpuscules s'écartent un peu de la verticale, mais à peine et le moins possible. (...)

Qu'un rien le dévie de sa ligne, qui serait capable de s'en rendre compte ? Mais si tous les mouvements sont enchaînés dans la nature, si toujours d'un premier naît un second suivant un ordre rigoureux, si par leurs écarts les corpuscules ne provoquent pas un mouvement qui rompe les lois de la fatalité, et qui empêche que les causes ne se succèdent à l'infini, d'où viendrait donc cette liberté accordée sur terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus...) aux êtres vivants ; d'où viendrait, dis-je, cette libre faculté arrachée au destin, qui nous fait aller partout où la volonté nous mène ? (...)

Aux corpuscules aussi nous devons reconnaître cette propriété : eux aussi ont une cause de mouvement autre que les chocs et la pesanteur (Depuis les expériences de Galilée, on observe que dans un lieu donné tous les corps libres chutent en subissant la même accélération verticale. Ce phénomène est appelé pesanteur et est dû à la gravitation. À la surface...) — une cause d'où vient le pouvoir inné de la volonté, puisque nous voyons que rien ne peut naître de rien... Or tel est l'effet d'une légère déviation des corpuscules, dans des lieux et des temps non déterminés. "

Ces réflexions doivent cependant être mises en balance avec le fait qu'il nous est impossible tant de déterminer l'état initial de l'Univers, que de calculer le comportement d'un univers déterministe qui nous contient, même si on en connaissait parfaitement l'état initial et les lois exactes d'évolution. Nous sommes donc condamnés à vivre dans un monde imparfaitement connu, et donc incapables d'y déterminer les poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de...) relatifs du hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.), de la nécessité et de la liberté.

Notes

  1. Jean-Marc Lévy- Leblond et Françoise Balibar, When did the indeterminacy principle become the uncertainty principle ?, Physics 66, 1998, p. 278- 279, cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes sédentarisés libres (pouvant avoir des esclaves),...) par Etienne Klein dans (lien) page 6
  2. On note gi la valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à...) associée au vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une...) | g_i\rangle. Par souci de simplification, on néglige ici la notion de multiplicité des valeurs propres.
  3. Plus généralement, tous les moments peuvent être définis.
  4. Ce concept est primordial en théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée...), théorie qui fait appel à la notion de particule virtuelle (On pourrait définir simplement une particule virtuelle comme suit : une particule virtuelle est une particule ayant une courte durée d'existence.).
  5. Pour une dérivation rigoureuse de l'inégalité énergie-temps, consulter par exemple : Albert Messiah Mécanique quantique - volume 1, Dunod (1959) p. 114-117, p. 269-270, et enfin, pour l'oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs est l'oscillateur harmonique : ses oscillations sont décrites...), p. 280. Ouvrage réédité par Dunod en 1995 : ISBN 2100073613.
  6. De même que la composante pi de l'impulsion est le générateur des translations d'espace dans la direction xi.
  7. L'argument de Pauli est le suivant : si l'opérateur temps existait, il posséderait un spectre continu. Or, l'opérateur temps, obéissant à la relation de commutation canonique, serait aussi le générateur des translations en énergie. Ceci entraîne alors que l'opérateur hamiltonien posséderait lui aussi un spectre continu et infini dans les deux sens, en contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) avec le fait que l'énergie de tout système physique stable se doit d'être bornée inférieurement. Concernant la validité de ce " théorème ", lire les travaux très récents d'Eric Galapon : quant-ph/9908033 et quant-ph/0303106.
  8. Techniquement, le temps et la fréquence sont ici des variables conjuguées au sens de la transformée de Fourier.
  9. Jean-Marc Lévy-Leblond a proposé d'utiliser plutôt le terme de quanton : Jean-Marc Lévy-Leblond & Françoise Balibar ; Quantique : rudiments, InterEditions/Editions du CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).) (1984). Réédité par Masson (1997) ISBN 2-225-85521-8, aujourd'hui racheté par Dunod : ISBN 2-225-85521-8.
  10. Voir par exemple les travaux de Claude Fabre (Laboratoire Kastler-Brossel, université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études supérieures). Aux États-Unis,...) Paris 6).
  11. Ici nous ne parlons que de la constante de Planck réduite (voir Constante de Planck)
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