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Équation de Schrödinger

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Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des champs
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L'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique non-relativiste. Elle décrit l'évolution dans le temps d'une particule...), conçue par le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien...) autrichien Erwin Schrödinger (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (12 août 1887 à Vienne - 4 janvier 1961) est un physicien autrichien.) en 1925, est une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) quantique non-relativiste. Elle décrit l'évolution dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'une particule massive (Le mot massif peut être employé comme :) non-relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons,...) classique.

Naissance de l'équation

Le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...) historique

Au début du XXe siècle, il était devenu clair que la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement...) présente une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées...), soit comme une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...) électromagnétique. Louis de Broglie (Louis Victor de Broglie, duc de Broglie (Dieppe, 15 août 1892 – Louveciennes, 19 mars 1987) était un mathématicien, physicien et académicien français.) proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale que les électrons devaient pouvoir produire des interférences comme la lumière, ce qui fut vérifié ultérieurement par l'expérience. Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) E et de quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des interactions...) p une fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de...) ν et une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de...) λ :

\left\{\begin{matrix}E=h\nu\\p=h/\lambda\end{matrix}\right..

L'équation de Schrödinger, trouvée par le physicien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation d'onde qui généralise l'approche de de Broglie ci-dessus aux particules massives non-relativistes soumises à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les...) dérivant d'une énergie potentielle, dont l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie...) totale est classiquement :

E = {p^2\over 2m}+ V(r).

Le succès de l'équation, déduite de cette extension par utilisation du principe de correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.), fut immédiat quant à l'évaluation des niveaux quantifiés d'énergie de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.) dans l'atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. La...) d'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.), car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, etc.

L'interprétation physique correcte de la fonction d'onde de Schrödinger ne fut donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) qu'en 1926 par Max Born. En raison du caractère probabiliste qu'elle introduisait, la mécanique ondulatoire (La mécanique ondulatoire est, comme son nom l'indique, une mécanique régie par la propagation d'une onde de probabilité.) de Schrödinger suscita initialement de la méfiance chez quelques physiciens de renom comme Albert Einstein (Albert Einstein (né le 14 mars 1879 à Ulm, Wurtemberg, et mort le 18 avril 1955 à Princeton, New Jersey) est un physicien qui fut successivement allemand, puis...), pour qui " Dieu ne joue pas aux dés ".

La dérivation historique

Le schéma conceptuel utilisé par Schrödinger pour dériver son équation repose sur une analogie formelle entre l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) et la mécanique :

  • En optique ondulatoire (L'optique ondulatoire est la discipline qui étudie la lumière en la considérant comme étant une onde électromagnétique. L'optique ondulatoire s'attache plus particulièrement aux phénomènes affectant...), l'équation de propagation dans un milieu transparent d'indice réel n variant lentement à l'échelle de la longueur d'onde conduit - lorsqu'on cherche une solution monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la couleur n'est formée que d'une fréquence ou, par extension de sens, d'une...) dont l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) varie très lentement devant la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) - à une équation approchée dite de l'eikonale. C'est l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) de l'optique géométrique (L'optique géométrique est une branche de l'optique, comme le sont l'optique ondulatoire (souvent appelée optique physique) et l'optique quantique. Ces approches ne sont pas opposées, mais complémentaires....), à laquelle est associée le principe variationnel de Fermat.
  • Dans la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés...) hamiltonienne de la mécanique classique, il existe une équation dite de Hamilton-Jacobi. Pour une particule massive non relativiste soumise à une force dérivant d'une énergie potentielle, l'énergie mécanique totale est constante et l'équation de Hamilton-Jacobi pour la "fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) de Hamilton" ressemble alors formellement à l'équation de l'eikonale (le principe variationnel associé étant le principe de moindre action.)

Ce parallèle avait été noté dès 1834 par Hamilton, mais celui-ci n'avait alors par de raison de douter de la validité de la mécanique classique. Après l'hypothèse de de Broglie de 1923, Schrödinger s'est dit[1] : l'équation de l'eikonale étant une approximation de l'équation d'onde de l'optique ondulatoire, cherchons l'équation d'onde de la "mécanique ondulatoire" (à construire) dont l'approximation soit l'équation de Hamilton-Jacobi. Ce qu'il a fait, d'abord pour une onde stationnaire (Une onde stationnaire est le phénomène résultant de la propagation simultanée dans des directions différentes de plusieurs ondes de même fréquence, dans le même milieu physique, qui forme une figure dont certains éléments sont fixes...) (E = cte), puis pour une onde quelconque[2].

Remarque : Schrödinger avait en fait commencé par traiter le cas d'une particule relativiste - comme d'ailleurs de Broglie avant lui[3]. Il a alors obtenu l'équation connue aujourd'hui sous le nom de Klein-Gordon, mais son application au cas du potentiel coulombien donnant des niveaux d'énergie incompatibles avec les résultats expérimentaux de l'atome d'hydrogène[4], il se serait rabattu sur le cas non-relativiste, avec le succès que l'on connait.


Formulation moderne de l'équation

En mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose à celle...), l'état à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré...) t d'un système est décrit par un élément \left| \Psi (t)\right\rangle de l'espace complexe de Hilbert — est utilisée la notation bra-ket (La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état quantique (voir Axiomes de la...) de Paul Dirac. \left| \Psi (t)\right\rangle représente les probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.

L'évolution temporelle de \left| \Psi (t)\right\rangle est décrite par l'équation de Schrödinger :

\mathbf{\hat{H}} \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle =  \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}\left| \Psi (t)\right\rangle + V(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t)\left| \Psi (t) \right\rangle

  • i\, est l'unité imaginaire ;
  • \hbar\, est la constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille des quanta. Elle joue un rôle central dans la mécanique quantique et a été nommée d'après le physicien Max Planck.) réduite (h/2π) ;
  • \hat{H}\, est l'hamiltonien, dépendant du temps en général, l'observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un paramètre...) correspondant à l'énergie totale du système ;
  • \hat{\vec{\mathbf{r}}}\, est l'observable position ;
  • \hat{\vec{\mathbf{p}}}\, est l'observable impulsion.

Il est à noter que, contrairement aux équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique...) gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Notons également que cette équation ne se démontre pas : c'est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davisson et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.

Résolution de l'équation

L'équation de Schrödinger étant une équation vectorielle on peut la réécrire de façon équivalente dans une base particulière de l'espace des états. Si on choisit par exemple la base \left|\vec{r}\right\rangle correspondant à la représentation de position définie par

\hat{\vec{\mathbf{r}}}\left|\vec{r}\right\rangle=\vec{r}\left|\vec{r}\right\rangle

alors la fonction d'onde \Psi (t,\vec{r})\equiv\left\langle\vec{r}\right|\left.\Psi(t)\right\rangle\, satisfait à l'équation suivante

i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\overrightarrow{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})

\overrightarrow{\nabla}^2\, est le laplacien.

Sous cette forme on voit que l'équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles faisant intervenir des opérateurs linéaires, ce qui permet d'écrire la solution générique comme somme de solutions particulières. L'équation est dans la grande majorité des cas trop compliquée pour admettre une solution analytique de sorte que sa résolution est approchée et/ou numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...).

Recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la...) des états propres

Les opérateurs apparaissant dans l'équation de Schrödinger sont des opérateurs linéaires ; il s'ensuit que toute combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de solutions est solution de l'équation. Cela mène à favoriser la recherche de solutions qui ont un grand intérêt théorique et pratique : à savoir les états qui sont propres de l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) hamiltonien.

Ces états sont donc solutions de l'équation aux états et valeurs propres,

H|\varphi_{n}\rangle =E_{n}|\varphi_{n}\rangle

qui porte parfois le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps. L'état propre |\varphi_{n}\rangle est associé à la valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels...) En , scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) réel, énergie de la particule dont |\varphi_{n}\rangle est l'état.

Les valeurs de l'énergie peuvent être discrètes comme les solutions liées d'un puits de potentiel (par ex. niveaux de l'atome d'hydrogène) ; il en résulte une quantification des niveaux d'énergie. Elles peuvent aussi correspondre à un spectre continu comme les solutions libres d'un puits de potentiel (par ex. un électron ayant assez d'énergie pour s'éloigner à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) du noyau de l'atome d'hydrogène).

Il arrive souvent que plusieurs états |\varphi_{n}\rangle correspondent à une même valeur de l'énergie : l'on parle alors de niveaux d'énergie dégénérés.

D'une façon générale, la détermination de chacun des états propres de l'hamiltonien, |\varphi_{n}>, et de l'énergie associée, fournit l'état stationnaire correspondant, solution de l'équation de Schrödinger :

|\psi_{n}(t)\rangle \,= \, |\varphi_{n}\rangle \,\exp( \frac{-iE_{n}t}{\hbar} ).

Une solution de l'équation de Schrödinger peut alors s'écrire très généralement comme une combinaison linéaire de tels états :

|\psi(t)\rangle \, = \, \sum_{n}\sum_{j} c_{n,j}|\varphi_{n,j}\rangle \exp(\frac{-iE_{n}t}{\hbar}).

Selon les postulats de la mécanique quantique,

  • le scalaire complexe cn,i est l'amplitude de l'état | ψ(t) > sur l'état |\varphi_{n,i}> ;
  • le réel Σi | cn,i | 2 est la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...) (dans le cas d'un spectre discret) de trouver l'énergie En lors d'une mesure de l'énergie sur le système.

Rareté d'une résolution analytique exacte

La recherche des états propres de l'hamiltonien est en général complexe. Même le cas analytiquement soluble de l'atome d'hydrogène ne l'est rigoureusement sous forme simple que si l'on néglige le couplage avec le champ électromagnétique (Le champ électromagnétique est le concept central de l'électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des deux champs vectoriels que l'on peut mesurer indépendamment : le champ électrique E...) qui va permettre le passage des états excités, solutions de l'équation de Schrödinger de l'atome, vers le fondamental.

Certains modèles simples, bien que non tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à fait conformes à la réalité, peuvent être résolus analytiquement et s'avèrent très utiles :

  • particule libre (potentiel nul) ;
  • oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des...) (potentiel quadratique) ;
  • particule se déplaçant sur un anneau ;
  • particule dans un puits de potentiel rectangulaire ;
  • particule dans un guide d'onde annulaire ;
  • particule dans un potentiel à symétrie sphérique ;
  • particule dans un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on appelle nœud (node) l'extrémité...) unidimensionnel (potentiel périodique).

Dans les autres cas, il faut faire appel aux diverses techniques d'approximation :

  • la théorie des perturbations fournit des expressions analytiques sous la forme de développements asymptotiques autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) d'un problème non-perturbé exactement soluble.
  • l'analyse numérique permet d'explorer des situations inaccessibles par la théorie de perturbation.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) de l'équation

La généralisation au domaine relativiste mena à l'équation de Klein-Gordon, puis à l'équation de Dirac ; cette dernière établit naturellement l'existence du spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule,...) et des antiparticules. Cependant, il n'existe aucune interprétation entièrement cohérente de ces équations d'ondes relativistes dans le cadre d'une théorie décrivant une seule particule ; le cadre pertinent pour le théorique quantique relativiste est la théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée...).

Bibliographie

  • Erwin Schrödinger ; Mémoires sur la mécanique ondulatoire, Félix-Alcan (Paris-1933). Réédition Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-048-9. Contient la traduction française par Alexandre Proca des mémoires historiques de 1926 :
    • Quantification et valeurs propres (I) et (II), Annalen der Physik (4) 79 (1926) ;
    • Sur les rapports qui existent entre la mécanique quantique de Heisenberg-Born-Jordan et la mienne, Annalen der Physik (4) 79 (1926) ;
    • Quantification et valeurs propres (III) - Théorie des perturbations avec application à l'effet Stark des raies de Balmer, Annalen der Physik (4) 80 (1926) ;
    • Quantification et valeurs propres (IV), Annalen der Physik (4) 81 (1926) ; ainsi que les articles suivants :
    • Le passage continu de la micro-mécanique à la mécanique macroscopique, Die Naturwissenschaften, 14 Jahrg., Heft 28 (1926), 664-666 ;
    • Sur l'effet Compton, Annalen der Physik (4) 82(1927) ;
    • Le théorème de la conservation d'énergie et de quantité de mouvement pour les ondes matérielles, Annalen der Physik (4) 82 (1927) ;
    • Echanges d'énergie d'après la mécanique ondulatoire, Annalen der Physik (4) 83 (1927).
Préface de Marcel Brillouin. Avant-propos de l'Auteur et notes inédites spécialement écrites pour cette traduction.
  • Erwin Schrödinger, " An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules ", Phys. Rev. 28, 1049 (1926) [(en)lire en ligne]
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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