Équation de Schrödinger - Définition - Encyclopédie scientifique en ligne

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Mardi 9 Février 2010

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Naissance de l'équation

Le contexte (Étape →3/5 : Une relecture a été demandée. • Si vous voyez des erreurs de traduction, vous pouvez...) historique

Au début du XX^e siècle, il était devenu clair que la lumière (La lumière désigne les ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des...) présente une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique....), soit comme une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés...) électromagnétique. Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale que les électrons devaient pouvoir produire des interférences comme la lumière, ce qui fut vérifié ultérieurement par l'expérience. Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la...) $E$ et de quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre...) de mouvement $p$ une fréquence (Cet article ou cette section doit être recyclé. Sa qualité devrait être largement améliorée en le réorganisant et en le...) $ν$ et une longueur (La longueur d’un objet représente la distance entre deux de ses extrémités, les plus éloignées possibles. Lorsque...) d'onde $λ$ :

$\left\{\begin{matrix}E=h u\p=h/\lambda\end{matrix} ight.$ .

L'équation de Schrödinger, trouvée par le physicien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation d'onde qui généralise l'approche de de Broglie ci-dessus aux particules massives non-relativistes soumises à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou...) dérivant d'une énergie potentielle, dont l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée...) totale est classiquement :

$E = {p^2\over 2m}+ V(r)$ .

Le succès de l'équation, déduite de cette extension par utilisation du principe de correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des...), fut immédiat quant à l'évaluation des niveaux quantifiés d'énergie de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de...) dans l'atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la...) d'hydrogène (Table complète - Table étendue), car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, etc.

L'interprétation physique correcte de la fonction d'onde de Schrödinger ne fut donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose,...) qu'en 1926 par Max Born. En raison du caractère probabiliste qu'elle introduisait, la mécanique ondulatoire (La mécanique ondulatoire est, comme son nom l'indique, une mécanique régie par la propagation d'une onde de probabilité.) de Schrödinger suscita initialement de la méfiance chez quelques physiciens de renom comme Albert Einstein (Albert Einstein (14 mars 1879 à Ulm, Württemberg, Allemagne - 18 avril 1955 à Princeton, New Jersey, États-Unis)...), pour qui « Dieu ne joue pas aux dés ».

La dérivation historique

Le schéma conceptuel utilisé par Schrödinger pour dériver son équation repose sur une analogie formelle entre l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière et de ses relations avec la vision.) et la mécanique :

En optique ondulatoire (L'optique ondulatoire est la discipline qui étudie la lumière en la considérant comme étant une onde électromagnétique....), l'équation de propagation dans un milieu transparent d'indice réel n variant lentement à l'échelle de la longueur d'onde conduit - lorsqu'on cherche une solution monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la couleur n'est formée...) dont l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) varie très lentement devant la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en...) - à une équation approchée dite de l'eikonale. C'est l'approximation de l'optique géométrique (L'optique géométrique est une branche de l'optique, comme le sont l'optique ondulatoire (souvent appelée optique...), à laquelle est associée le principe variationnel de Fermat.

Dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique, il existe une équation dite de Hamilton-Jacobi. Pour une particule massive non relativiste soumise à une force dérivant d'une énergie potentielle, l'énergie mécanique totale est constante et l'équation de Hamilton-Jacobi pour la "fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) de Hamilton" ressemble alors formellement à l'équation de l'eikonale (le principe variationnel associé étant le principe de moindre action.)

Ce parallèle avait été noté dès 1834 par Hamilton, mais celui-ci n'avait alors par de raison de douter de la validité de la mécanique classique. Après l'hypothèse de de Broglie de 1923, Schrödinger s'est dit^[1] : l'équation de l'eikonale étant une approximation de l'équation d'onde de l'optique ondulatoire, cherchons l'équation d'onde de la "mécanique ondulatoire" (à construire) dont l'approximation soit l'équation de Hamilton-Jacobi. Ce qu'il a fait, d'abord pour une onde stationnaire (Une onde stationnaire est le phénomène résultant de la propagation simultanée dans des directions différentes de...) (E = cte), puis pour une onde quelconque^[2].

Remarque : Schrödinger avait en fait commencé par traiter le cas d'une particule relativiste - comme d'ailleurs de Broglie avant lui^[3]. Il a alors obtenu l'équation connue aujourd'hui sous le nom de Klein-Gordon, mais son application au cas du potentiel coulombien donnant des niveaux d'énergie incompatibles avec les résultats expérimentaux de l'atome d'hydrogène^[4], il se serait rabattu sur le cas non-relativiste, avec le succès que l'on connait.

Dérivation élémentaire

Une fois établi le parallèle entre l'optique et la mécanique hamiltonienne - i.e. la partie non-triviale du raisonnement -, la fin de la dérivation est relativement élémentaire. En effet, l'équation d'onde satisfaite par l'amplitude spatiale d'une onde monochromatique de pulsation $ω$ fixée dans un milieu d'indice n lentement variable s'écrit :

$(\Delta \ + \ rac{n^2 \, \omega^2}{c^2}) \ \psi( ec{r}) \ = \ 0$

On introduit le nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) d'onde k dans le milieu d'indice n, tel que :

$k^2 \ = \ rac{n^2 \, \omega^2}{c^2}$

On obtient alors l'équation de Helmholtz :

$(\Delta \ + \ k^2) \ \psi( ec{r}) \ = \ 0$

La longueur d'onde dans le milieu est définie par : $λ = 2π / k$ . L'équation de Helmholtz se réécrit :

$\left( \, \Delta \ + \ rac{4\pi^2}{\lambda^2} \, ight) \ \psi( ec{r}) \ = \ 0$

On utilise alors la relation de de Broglie pour une particule non-relativiste, pour laquelle la quantité de mouvement p = m v :

$\lambda \ = \ rac{h}{mv} \quad \Longrightarrow \quad rac{1}{\lambda^2} \ = \ rac{m^2 \, v^2}{h^2}$

Or, l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un...) s'écrit pour une particule non-relativiste :

$rac{1}{2} \, m \, v^2 \ = \ E \ - \ V( ec{r})$

d'où l'équation de Schrödinger stationnaire :

$\left[ \, \Delta \ + \ rac{8\pi^2m}{h^2} \, \left( \, E \ - \ V( ec{r}) \, ight) \ ight] \ \psi( ec{r}) \ = \ 0$

En introduisant le quantum d'action $\hbar = h/2\pi$ , on la met sous la forme habituelle :

$- \ rac{\hbar^2}{2m} \, \Delta \psi( ec{r}) \ + \ V( ec{r}) \, \psi( ec{r}) \ = \ E \, \psi( ec{r})$

Il ne reste plus qu'à réintroduire le temps t en explicitant la dépendance temporelle pour une onde monochromatique, puis en utilisant la relation de Planck-Einstein $E = \hbar \omega$ :

$\psi( ec{r},t) \ = \ \psi( ec{r}) \ \mathrm{e}^{- \, i \, \omega \, t} \ = \ \psi( ec{r}) \ \exp \left( - \, rac{i \, E \, t}{\hbar} ight)$

On obtient finalement l'équation de Schrödinger générale :

$- \ rac{\hbar^2}{2m} \, \Delta \psi( ec{r},t) \ + \ V( ec{r}) \, \psi( ec{r},t) \ = \ i \, \hbar \ rac{\partial \psi( ec{r},t)}{\partial t}$

Formulation moderne de l'équation

En mécanique quantique, l'état à l'instant t d'un système est décrit par un élément $\left| \Psi (t) ight angle$ de l'espace complexe de Hilbert — est utilisée la notation bra-ket de Paul Dirac. $\left| \Psi (t) ight angle$ représente les probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.

L'évolution temporelle de $\left| \Psi (t) ight angle$ est décrite par l'équation de Schrödinger :

$\mathbf{\hat{H}} \left| \Psi (t) ight angle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) ight angle = rac{\hat{ ec{\mathbf{p}}}^2}{2m}\left| \Psi (t) ight angle + V(\hat{ ec{\mathbf{r}}},t)\left| \Psi (t) ight angle$

où

$i\,$ est l'unité imaginaire ;
$\hbar\,$ est la constante de Planck réduite (h/2π) ;
$\hat{H}\,$ est l'hamiltonien, dépendant du temps en général, l'observable correspondant à l'énergie totale du système ;
$\hat{ ec{\mathbf{r}}}\,$ est l'observable position ;
$\hat{ ec{\mathbf{p}}}\,$ est l'observable impulsion.

Il est à noter que, contrairement aux équations de Maxwell gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Notons également que cette équation ne se démontre pas : c'est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davisson et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.

Résolution de l'équation

L'équation de Schrödinger étant une équation vectorielle on peut la réécrire de façon équivalente dans une base particulière de l'espace des états. Si on choisit par exemple la base $\left| ec{r} ight angle$ correspondant à la représentation de position définie par

$\hat{ ec{\mathbf{r}}}\left| ec{r} ight angle= ec{r}\left| ec{r} ight angle$

alors la fonction d'onde $\Psi (t, ec{r})\equiv\left\langle ec{r} ight|\left.\Psi(t) ight angle\,$ satisfait à l'équation suivante

$i\hbar{\partial\Psi(t, ec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\overrightarrow{ abla}^2\Psi(t, ec{r})+V( ec{r},t)\Psi(t, ec{r})$

où $\overrightarrow{ abla}^2\,$ est le laplacien.

Sous cette forme on voit que l'équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles faisant intervenir des opérateurs linéaires, ce qui permet d'écrire la solution générique comme somme de solutions particulières. L'équation est dans la grande majorité des cas trop compliquée pour admettre une solution analytique de sorte que sa résolution est approchée et/ou numérique.

Recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de...) des états propres

Les opérateurs apparaissant dans l'équation de Schrödinger sont des opérateurs linéaires ; il s'ensuit que toute combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de solutions est solution de l'équation. Cela mène à favoriser la recherche de solutions qui ont un grand intérêt théorique et pratique : à savoir les états qui sont propres de l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) hamiltonien.

Ces états sont donc solutions de l'équation aux états et valeurs propres,

$H| arphi_{n} angle =E_{n}| arphi_{n} angle$

qui porte parfois le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps. L'état propre $| arphi_{n} angle$ est associé à la valeur propre $E n$ , scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par...) réel, énergie de la particule dont $| arphi_{n} angle$ est l'état.

Les valeurs de l'énergie peuvent être discrètes comme les solutions liées d'un puits de potentiel (par ex. niveaux de l'atome d'hydrogène) ; il en résulte une quantification des niveaux d'énergie. Elles peuvent aussi correspondre à un spectre continu comme les solutions libres d'un puits de potentiel (par ex. un électron ayant assez d'énergie pour s'éloigner à l'infini du noyau de l'atome d'hydrogène).

Il arrive souvent que plusieurs états $| arphi_{n} angle$ correspondent à une même valeur de l'énergie : l'on parle alors de niveaux d'énergie dégénérés.

D'une façon générale, la détermination de chacun des états propres de l'hamiltonien, $| arphi_{n}>$ , et de l'énergie associée, fournit l'état stationnaire correspondant, solution de l'équation de Schrödinger :

$|\psi_{n}(t) angle \,= \, | arphi_{n} angle \,\exp( rac{-iE_{n}t}{\hbar} ).$

Une solution de l'équation de Schrödinger peut alors s'écrire très généralement comme une combinaison linéaire de tels états :

$|\psi(t) angle \, = \, \sum_{n}\sum_{j} c_{n,j}| arphi_{n,j} angle \exp( rac{-iE_{n}t}{\hbar}).$

Selon les postulats de la mécanique quantique,

le scalaire complexe $c n, i$ est l'amplitude de l'état $| ψ(t) >$ sur l'état $| arphi_{n,i}>$ ;
le réel $Σ i | c n, i | 2$ est la probabilité (Probabilité vient du latin probare (prouver, ou tester). Le mot probable signifie « qui peut se produire »...) (dans le cas d'un spectre discret) de trouver l'énergie $E n$ lors d'une mesure de l'énergie sur le système.

Rareté d'une résolution analytique exacte

La recherche des états propres de l'hamiltonien est en général complexe. Même le cas analytiquement soluble de l'atome d'hydrogène ne l'est rigoureusement sous forme simple que si l'on néglige le couplage avec le champ électromagnétique (Le champ électromagnétique est le concept central de l'électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des...) qui va permettre le passage des états excités, solutions de l'équation de Schrödinger de l'atome, vers le fondamental.

Certains modèles simples, bien que non tout à fait conformes à la réalité, peuvent être résolus analytiquement et s'avèrent très utiles :

particule libre (potentiel nul) ;
oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique,...) (potentiel quadratique) ;
particule se déplaçant sur un anneau ;
particule dans un puits de potentiel rectangulaire ;
particule dans un guide d'onde annulaire ;
particule dans un potentiel à symétrie sphérique ;
particule dans un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec...) unidimensionnel (potentiel périodique).

Dans les autres cas, il faut faire appel aux diverses techniques d'approximation :

la théorie des perturbations fournit des expressions analytiques sous la forme de développements asymptotiques autour d'un problème non-perturbé exactement soluble.
l'analyse numérique permet d'explorer des situations inaccessibles par la théorie de perturbation.

Généralisation de l'équation

La généralisation au domaine relativiste mena à l'équation de Klein-Gordon, puis à l'équation de Dirac ; cette dernière établit naturellement l'existence du spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la...) et des antiparticules. Cependant, il n'existe aucune interprétation entièrement cohérente de ces équations d'ondes relativistes dans le cadre d'une théorie décrivant une seule particule ; le cadre pertinent pour le théorique quantique relativiste est la théorie quantique des champs.

Bibliographie

Erwin Schrödinger ; Mémoires sur la mécanique ondulatoire, Félix-Alcan (Paris-1933). Réédition Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-048-9. Contient la traduction française par Alexandre Proca des mémoires historiques de 1926 :
- Quantification et valeurs propres (I) et (II), Annalen der Physik (4) 79 (1926) ;
- Sur les rapports qui existent entre la mécanique quantique de Heisenberg-Born-Jordan et la mienne, Annalen der Physik (4) 79 (1926) ;
- Quantification et valeurs propres (III) - Théorie des perturbations avec application à l'effet Stark des raies de Balmer, Annalen der Physik (4) 80 (1926) ;
- Quantification et valeurs propres (IV), Annalen der Physik (4) 81 (1926) ; ainsi que les articles suivants :
- Le passage continu de la micro-mécanique à la mécanique macroscopique, Die Naturwissenschaften, 14 Jahrg., Heft 28 (1926), 664-666 ;
- Sur l'effet Compton, Annalen der Physik (4) 82(1927) ;
- Le théorème de la conservation d'énergie et de quantité de mouvement pour les ondes matérielles, Annalen der Physik (4) 82 (1927) ;
- Echanges d'énergie d'après la mécanique ondulatoire, Annalen der Physik (4) 83 (1927).

Préface de Marcel Brillouin. Avant-propos de l'Auteur et notes inédites spécialement écrites pour cette traduction.

Erwin Schrödinger, « An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules », Phys. Rev. 28, 1049 (1926) [(en)lire en ligne]

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