Henri Poincaré - Définition

Henri Poincaré

Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses apports à maints domaines des mathématiques et de la physique ont radicalement modifié ces deux sciences. Parmi ceux-ci, citons ses travaux en optique, en relativité, sur le problème des trois corps, en calcul différentiel et en théorie du chaos.

Biographie

Arrière-petit-fils d'Étienne Geoffroy Saint-Hilaire, il est le cousin de l'homme politique et président de la République française Raymond Poincaré, et de Lucien Poincaré, directeur de l'Enseignement secondaire au Ministère de l'Instruction publique et des Beaux-Arts.

Brillant élève, il obtient le baccalauréat ès lettres et ès sciences en 1871, entre premier à l'École polytechnique en 1873, puis à l'École des Mines en octobre 1875 ; il est licencié ès sciences le 2 aout 1876. Nommé ingénieur des mines de 3e classe en mars 1879 à Vesoul, il obtient le 1er aout 1879 le doctorat ès sciences mathématiques à la Faculté des sciences de Paris et devient chargé de cours d'analyse à la faculté des sciences de Caen le 1er décembre 1879.

Deux ans plus tard, il obtient ses premiers résultats marquants en mathématiques (sur la représentation des courbes et sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques), et rapidement, il s'intéresse à l'application de ses connaissances mathématiques en physique et plus particulièrement en mécanique.

Il retourne à Paris en 1881 comme maître de conférences d'analyse à la faculté des sciences de Paris. Il est nommé répétiteur d'analyse à l'Ecole polytechnique le 6 novembre 1883, charge qu'il occupe jusqu'à sa demission en mars 1897. Nommé à la chaire de mécanique physique et expérimentale le 16 mars 1885, il quitte celle-ci pour la chaire de Physique mathématique et de calcul des probabilités en aout 1886, succédant à Gabriel Lippmann.

Il est élu à l'Académie des sciences en 1887. Il devient membre du Bureau des longitues en 1893 et est nommé ingénieur en chef des mines. En novembre 1896, il obtient la chaire d'Astronomie mathématique et de mécanique céleste, succédant à Félix Tisserand.

Il est, en 1901, le premier lauréat de la Médaille Sylvester de la Royal Society. Il a été président de la Société mathématique de France en 1886 et en 1900 et président de la Société française de physique en 1902.

Le 1er octobre 1904, Poincaré est nommé professeur d'astronomie générale sans traitement à l'Ecole polytechnique afin d'éviter la suppression de cette chaire.

Poincaré et la relativité

Cet article de physique fait partie de la série relativité

Bases

histoire - théorie

Lorentz - Einstein - Mach

transformation de Lorentz

Feynman - Poincaré - Michelson

espace-temps-c - E=mc² - t

EQR

exp:Michelson et Morley

exp:pensée?-éther

jumeaux-train

relativité restreinte-générale

théorie de la relativité

controverse historique

Techniques

cyclotron

accélérateur de particules

Méta

article

Liens physique

Formulaire

En 1902, Poincaré publie La Science et l'hypothèse. Même si ce livre est plus un ouvrage d'épistémologie que de physique, il appelle à ne pas considèrer comme trop réels de nombreux artefacts de la physique de son époque : le temps absolu, l'espace absolu, l'existence de l'éther. Ce livre contient donc les pistes de la relativité restreinte, et on sait qu'Albert Einstein l'a étudié de près.^[1]

En 1905, Poincaré pose les équations des transformations de Lorentz, et les présente à l'Académie des sciences de Paris le 5 juin 1905. Ces transformation vérifient l'invariance de Lorentz, achevant le travail d'Hendrik Antoon Lorentz lui-même (Lorentz était un correspondant de Poincaré). Ces transformations sont celles qui s'appliquent en relativité restreinte, et on emploie encore aujourd'hui les équations telles que les a écrites Poincaré. Mais pour expliquer l'origine physique de ces transformations, Poincaré a recours a des contractions physiques de l'espace et du temps, conservant en références un éther et un temps absolu. C'est Einstein qui s'emploie à montrer qu'on retrouve les mêmes transformations en partant simplement du principe de relativité, éliminant les notions de référentiels ou horloge absolu, et faisant des différences de longueur des effets de la perspective dans un espace-temps en quatre dimensions, et non des contractions réelles.^[2]

Poincaré a également proposé certaines idées sur la gravité, qui furent confirmées par la relativité générale, nottament la propagation de la gravitation à la vitesse de la lumière et indiqua la possibilité d'existence l'existence des ondes gravitationnelles qu'il appelait " ondes gravifiques ". La nouvelle loi était invariante par les transformations de Lorentz. Sa faiblesse était de trop rechercher l'analogie avec les lois de l'électromagnétisme.^[3] Paul Langevin note que Poincaré a trouvé " plusieurs solutions possibles qui présentent toutes ce caractère commun que la gravitation se propage avec la vitesse de la lumière, du corps attirant au corps attiré, et que la loi nouvelle permet de représenter les mouvements des astres mieux encore que la loi ordinaire puisqu'elle atténue les divergences existants encore entre celle-ci et les faits, dans le mouvement du périhélie de Mercure, par exemple. "

Si les physiciens de l'époque étaient parfaitement au courant des travaux de Poincaré, le grand public l'a ensuite presque oublié, alors que le nom d'Einstein est aujourd'hui quasiment connu de tous. Récemment, quelques voix ont cherché a rappeler le rôle de Poincaré, mais d'autres sont allés plus loin, cherchant à faire de Poincaré l'auteur de la théorie de la relativité. Cette controverse sur la paternité de la relativité est d'autant plus délicate que les conflits politiques se mêlent aux questions de lecture des articles de physique.

Mathématiques

Poincaré est le fondateur de la topologie algébrique. Ses principaux travaux mathématiques ont eu pour objet la géométrie algébrique, des types de fonctions particuliers – les fonctions dites " automorphes " (il découvre les fonctions fuschiennes et kleinéennes), les équations différentielles... La notion de continuité est centrale dans son travail, autant par ses répercussions théoriques que pour les problèmes topologiques qu'elle entraîne.

Les fondements des mathématiques

À partir de 1905 et pendant les six dernières années de sa vie, Poincaré participe activement aux débats sur les fondements qui traversaient à l'époque la communauté mathématique. Il n'a jamais essayé d'y contribuer sur le plan technique, mais certaines de ses idées ont eu une influence indéniable. L'un de ses contradicteurs, Bertrand Russell écrira en 1914 " Il n'est pas possible d'être toujours juste en philosophie; mais les opinions de Poincaré, justes ou fausses, sont toujours l'expression d'une pensée puissante et originale, servie par des connaissances scientifiques tout à fait exceptionnelles "^[4]. Entre autres, à cause de son refus d'accepter l'infini actuel, c’est-à-dire la possibilité de considérer l'infini comme une entité achevée et non simplement comme un processus qui peut se prolonger arbitrairement longtemps, Poincaré est considéré par beaucoup d'intuitionnistes comme un précurseur. Poincaré n'a cependant jamais remis en cause le tiers-exclu et rien n'indique qu'il aurait pu adhérer à une refondation aussi radicale des mathématiques que celle que proposera Brouwer.

La position de Poincaré a évolué. Dans une période précédente, il s'est intéréssé aux travaux de Georg Cantor, dont les travaux sur la construction des réels et la théorie des ensembles s'appuient de façon essentielle sur un infini actuel, au point de superviser la traduction en français d'une partie des articles de ce dernier (en 1871, 1883 ...), et d'utiliser ses résultats dans son mémoire sur les groupes kleinéens (1884)^[5]. Il s'intéresse également aux travaux de David Hilbert sur l'axiomatisation : il fait en 1902^[6] une recension soignée et très louangeuse des Fondements de la géométrie (1899).

En 1905 et 1906, Poincaré réagit, de façon assez polémique à une série d'articles de Louis Couturat sur les " principes des mathématiques " dans la revue de métaphysique et de morale, articles qui rendaient compte des Principles of Mathematics de Bertrand Russell (1903). Russell finira par intervenir lui-même dans le débat^[7] [Poincaré s'appuie sur l’intuitionnisme de Kant qui stipule, entre autres, que le temps et l’espace nous sont donnés comme des objets synthétiques a priori.] Poincaré contrairement à ce qu'on dit souvent n'a jamais partagé ce que l'on appelle de manière vague l'intuitionnisme kantien. Quand il évoque l'intuition (La valeur de la science, ch 1), ce terme signifie "image" ou "modèle". Sa conception de l'expérience n'a pas grand chose à voir avec celle de Kant : ni l'espace, ni le temps ne sont des "formes à priori" car l'expérience n'est que l'occasion à partir de laquelle l'espace représenté est mis en relation avec l'espace comme continuum amorphe : "L'expérience n'a donc joué qu'un seul rôle, elle a servi d'occasion. Mais ce rôle n'en était pas moins très important; et j'ai cru nécessaire de le faire ressortir. Ce rôle aurait été inutile s'il existait une "forme a priori" s'imposant à notre sensibilité et qui serait l'espace à trois dimensions." (La valeur de la science, ch. 4, § 6). Quand Poincaré évoque l'idée de commodité, il est plus proche des empiristes que des idéalistes : l'idée de vérité n'a plus grand chose à voir avec l'idée de jugement synthétique a priori parce qu'on "choisit" ses principes ou axiomes tout comme on choisit les faits dans les sciences de la nature. Le principe de récurrence semble n'avoir d'autre but que de montrer la non pertinence du logicisme qui fait de la déduction le ressort central de la démonstration mathématique. Pour lui, c'est précisément le cas du principe de récurrence, qu'il nomme également " principe d’induction ", en ce qu'il s'oppose à déduction, et qu'il refuse de considérer comme le fruit d'un jugement purement analytique, comme le sont pour lui les raisonnements logiques. Ceci l'oppose à Russell (et à travers lui à Gottlob Frege, que Poincaré méconnait), qui veut réduire les mathématiques à la logique, cela l'oppose aussi à ceux qu'il appelle les cantoriens comme Ernst Zermelo et dont il distingue en partie Hilbert. À ces derniers il reproche l'usage de l'infini actuel, à travers leur façon de " passer du général au particulier ", par exemple le fait de supposer l'existence d'ensembles infinis pour définir l'ensemble des entiers naturels, alors que pour lui, les entiers naturels sont premiers. Il refuse ce qu'il appelle, les définitions non-prédicatives (voir paradoxe de Richard) qui pour définir un ensemble E font appel à " la notion de l'ensemble E lui-même " (typiquement la définition actuelle en théorie axiomatique des ensembles de N, l'ensemble des entiers naturels, comme intersection des ensembles contenant 0 et clos par successeur, est non-prédicative au sens de Poincaré, puisque N fait partie de ces derniers). Les objections de Poincaré, par les réactions qu'elles ont nécessitées, on joué un rôle non négligeable dans la naissance de la logique mathématique et de la théorie des ensembles, même si ses idées ont eu finalement relativement peu de succès. Elles influencent tout de même notablement l'intuitionnisme de Brouwer et ses successeurs (qui reste très marginal chez les mathématiciens), et ont connu des développements en théorie de la démonstration à partir des années 1960.

Le problème des trois corps

Poincaré est également l'inventeur de l'attracteur étrange, qui donne des informations sur les solutions du problème des trois corps, alors même qu'il est impossible d'expliciter ces solutions : il trouva que trois corps obéissant à la gravitation universelle de Newton ont, sous certaines conditions, une trajectoire qui dépend fortement de la condition initiale. Ainsi, on ne pourra jamais déterminer avec exactitude le destin de ces corps, car la moindre perturbation dans ses mesures entraînerait irrémédiablement une forte différence de trajectoire.

Ces supputations sont à l'origine de la théorie du chaos.

Conjecture de Poincaré

Posée en 1904 par Poincaré, la conjecture portant son nom était un problème de topologie énoncé sous cette forme par son auteur:

" Considérons une variété compacte V à 3 dimensions sans bord. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial bien que V ne soit pas homéomorphe à une sphère de dimension 3 ? "

En l'an 2000, l'institut Clay plaça la conjecture parmi les sept problèmes du prix du millénaire. Ce faisant, l'institut promis un million de dollars américain à celui qui démontrerait ou réfuterait la conjecture. Finalement Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2003, et sa démonstration fut validée en 2006. Mais le chercheur a refusé aussi bien la médaille Fields que le million de dollar.

Philosophe et homme de lettres

Henri Poincaré, photo tirée de l'édition de 1913 de ses Dernières Pensées

Il est aussi le dernier à avoir la double spécificité de comprendre l'ensemble des mathématiques de son époque et d'être en même temps un penseur philosophique. On le considère comme un des derniers grands savants universels, du fait de ses recherches dans des domaines transversaux (physique, optique, astronomie...), et de son attitude scientifique fondée sur une esthétique de la science et du nombre, à rapprocher de celle des anciens Grecs.

Poincaré a œuvré toute sa carrière durant à la vulgarisation de ses résultats et des grands travaux de la science, attitude qui sera reprise par des physiciens ultérieurs, comme Albert Einstein ou Stephen Hawking.

Avec La Science et l'hypothèse, Poincaré intéresse le monde artistique, notamment les cubistes, et donne des clés de compréhension aux géométries non-euclidienne.

De manière plus anecdotique, on peut noter que Poincaré aurait écrit un roman de jeunesse.^[8]

Résultats scolaires légendaires

De façon plus anecdotique, il détient jusqu'à maintenant le record de la moyenne des notes obtenues au concours d'entrée à l'École polytechnique. Il entra major, et en sortit deuxième.

Concernant son admission à l'École polytechnique, il existe une légende, selon laquelle il aurait été le seul étudiant à y avoir été admis alors qu'il avait obtenu un zéro à une épreuve (lavis), ce qui constitue normalement une note éliminatoire. Ce qui aurait penché en sa faveur serait le fait qu'il ait obtenu la note maximale, soit 20/20, à toutes les autres épreuves. Le jury d'admission aurait été partagé entre le fait de se priver d'un élément aussi brillant que lui, et l'application de la règle du zéro éliminatoire. Cette entorse au règlement demeure unique dans l'histoire de l'École.

La réalité rejoint presque la fiction : il avait eu en fait 1/20 en dessin, 20 /20 aux trois épreuves de mathématiques et 19 en physique.

Honneurs

Il est lauréat du Concours général.

Il reçoit la médaille d'or de la Royal Astronomical Society en 1900.

En 1908, il est nommé membre de l'Académie française.

Il a reçu la Médaille Bruce en 1911.

Pour l'ensemble de ses travaux, Poincaré fut pressenti douze fois au Prix Nobel de physique.

L'Université Henri Poincaré est nommée en son honneur.

Bibliographie incomplète

• La Science et l'hypothèse (Flammarion - 1902)
• La Valeur de la Science (Flammarion - 1905)
• Science et méthode (Flammarion - 1908)
• Savants et écrivains (Flammarion - 1910)
• Théorie mathématique de la lumière (Carré - 1892 et 1899)
• Thermodynamique (Carré - 1892)
• Théorie de l'élasticité (Carré et Naud- 1892)
• Théorie des tourbillons (Carré et Naud- 1893)
• Capillarité (Carré et Naud- 1893)
• Théorie analytique de la propagation de la chaleur (Carré et Naud- 1895)
• Calcul des probabilités (Carré et Naud- 1896)
• Électricité et optique (Carré et Naud- 1901)
• Les méthodes nouvelles de mécanique céleste (Gauthier-Villars- 1893)
• Dernières Pensées (1913) Flammarion, réédité par Flammarion, complété d'autres articles en appendice à partir de la seconde édition de 1926.
• Cours de la Faculté des Sciences de Paris - Cours de Physique Mathématique - Thermogynamique par H. Pointcaré , Membre de l'Institut - Rédaction de J. Blondin, Agrégé de l'Université- Paris Gauthier-Villars 1908 - Réimpression 1995 des Éditions Jacques Gabay.