Spectre d'ondes planes - Définition

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Introduction

La décomposition d'une onde de forme quelconque sur une base d'ondes planes est une opération usuelle dans différents domaines de la physique, par exemple en optique ou en mécanique quantique.

Dans certaines géométries de sources, il est fait appel au principe de Huygens (Le principe de Huygens-Fresnel est un principe utilisé en optique, et qui permet entre autres de...) pour obtenir le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) à longue, ou très longue distance : une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) est considérée comme sources d'ondes sphériques dont la combinaison (Une combinaison peut être :) fournira le champ à l'endroit voulu.

La méthode du spectre d'ondes planes procède d'une tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) autre manière, sans nécessiter d'appel à un principe supplémentaire. Elle apparaît singulièrement efficace si le champ source, à propager, est connu dans un plan.

Une simple transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour...) bidimensionnelle mène à l'obtention d'une expression analytique valable en tout point (Graphie) de l'espace tridimensionnel. On retrouve ainsi en quelques lignes de calcul les approximations usuelles de Fresnel, ou de Fraunhoffer, mais en plus, l'expression obtenue est bonne pour le champ proche, ce que ne donne pas l'approche utilisant le principe de Huygens.

La méthode peut être appliquée dans de nombreux cas, où la source est effectivement plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...). Par exemple dans le cas d'une fente source dans un écran (Un moniteur est un périphérique de sortie usuel d'un ordinateur. C'est l'écran où s'affichent...) plat ; en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) le champ incident sur l'écran est découpé à l'emporte pièce, ce qui est usuellement fait. En dehors de cette difficulté, qui a son importance, le calcul est valide, pour chaque composante du champ vectoriel, s'il y a lieu, et, ce, à toute distance.

Aperçu mathématique

Soit f un champ scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la...) de pulsation \omega=k c\,, satisfaisant à une équation de Helmholtz (une adaptation peut-être réalisée pour l'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est...), ou autres équations de propagation, ou de diffusion) :

\Delta f+k^{2}f = 0\,.

Une onde plane (L'onde plane est un concept issu de la physique de la propagation des ondes. C'est une onde dont...) est une solution particulière cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...). Une solution générale peut être écrite par linéarité de l'équation de Helmholtz comme une superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut...) d'ondes planes se propageant dans toutes les directions possibles dans le demi-espace z > 0.

Par hypothèse le champ f(x,y,z) est connu dans le plan z = 0, plan sur lequel on évalue la transformée de Fourier :

F(q_{x},q_{y},0)=\frac{1}{2\pi}\int\int f(x,y,0) \exp(-i(q_{x}x+q_{y}y))  \, dx \, dy.

La transformée de Fourier du champ dans un plan situé à une cote z (La cote Z est la somme, exprimée en mètres, de l'altitude du lieu au-dessus de la mer complétée...) est alors tout simplement :

F(q_{x},q_{y},z)=F(q_{x},q_{y},0)\;\exp(iz\sqrt{k^{2}-q_{x}^{2}-q_{y}^{2}}).

Ainsi obtient-on, dans le plan z quelconque, le champ f(x,y,z) par une simple transformation de Fourier inverse :

f(x,y,z)=\frac{1}{2\pi}\int\int F(q_{x},q_{y},z) \exp(i(q_{x}x+q_{y}y)) \, dq_{x}\, dq_{y},

qui est la solution exacte.

Dans cette expression, les hautes fréquences spatiales (q_{x}^{2}+q_{y}^{2}>k^{2}) vont mener à une décroissance exponentielle pour l'argument de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...). Ces hautes fréquences spatiales caractérisent des détails fins du plan source qui ne seront donc visibles qu'en champ proche. Ces ondes planes particulières sont appelées des ondes evanescentes ou inhomogènes. À grande distance, la participation de ces ondes evanescentes devient négligeable. C'est ce qui limite de façon fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) la résolution des instruments optiques : l'information sur les variations spatiales rapides (de taille caractéristique inférieure à la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde) d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) émettant de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) est contenue dans les evanescents. Il n'est donc pas possible à cause de la propagation elle-même, de faire l'image d'un objet de taille inférieure à la longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) de la lumière utilisée.

Le champ f peut être évalué en utilisant la méthode de la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et...) stationnaire. Cette approximation mène pour de grandes distances aux formules de Fresnel (facteur d'obliquité inclus) ainsi qu'à celles de Fraunhoffer pour de très grande distance.

Par exemple, dans le cas de l'approximation de Fraunhoffer, on trouve :

f(x,y,z)=-i\frac{k}{(2\pi)^{2}z}\;\exp(ikz)\;F(kx/z,ky/z,0),

l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) en x,y,z est proportionnelle à la transformée de Fourier en \,z = 0 pour le vecteur d'onde (q_{x},q_{y})=(kx,ky)/z \,.

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