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Posté par Michel le Samedi 21/04/2012 à 00:00
Première image d'un tore plat en 3D
De même qu'on ne peut pas mettre à plat un globe terrestre sans perturber les distances, les tores plats, objets mathématiques abstraits, semblaient impossibles à visualiser dans notre espace. Pourtant, une équipe de mathématiciens et d'informaticiens (1) a réussi à construire et représenter visuellement une image d'un tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) plat dans l'espace à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...). Il s'agit d'une fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est...) lisse, à mi-chemin entre les fractales et les surfaces ordinaires. Ces résultats sont publiés dans PNAS.


Image montrant un plongement isométrique du tore carré plat dans l'espace ambiant, vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) externe (en haut)
et interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à...) (en bas). On y distingue différentes vagues d'ondulations appelées corrugations.
Leur accumulation crée un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné...) ressemblant à une fractale et ayant un aspect rugueux.
© Borrelli, Jabrane, Lazarus, Thibert

Dans les années 50, Nicolaas Kuiper et le prix Nobel John Nash (John Nash (1752 à Londres - 13 mai 1835 à Cowes) est un architecte britannique.) ont démontré l'existence d'une représentation d'un tore plat, objet mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) abstrait, sans pouvoir la visualiser. Depuis, la représentation de cette surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec...) est restée un défi que des scientifiques lyonnais et grenoblois viennent de relever. En se basant sur la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) de l'intégration convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une...) mise au point (Graphie) par Mikhail Gromov (2) dans les années 70, les chercheurs ont utilisé la technique de corrugations (oscillations). Cette technique mathématique, réputée abstraite, est utilisée dans la détermination de solutions atypiques d'équations aux dérivées partielles. Pour la première fois, elle a permis aux scientifiques d'obtenir des images d'un tore plat dans l'espace à trois dimensions. A mi-chemin entre les fractales et les surfaces ordinaires, ces images sont celles d'une fractale lisse.

Ces résultats ouvrent des perspectives inédites en mathématiques appliquées, notamment pour la visualisation des solutions des équations différentielles qu'on rencontre en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...) ou en biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences naturelles et de l'histoire naturelle des...). Les étonnantes propriétés des fractales lisses pourraient également jouer un rôle central dans l'analyse de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) des formes.

Plus d'informations: voir ici.


Notes:

(1) L'équipe réunit quatre chercheurs de l'Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter Institute for Theoretical Physics est un tel institut.) Camille Jordan (CNRS/Universités Claude Bernard (Claude Bernard, né le 12 juillet 1813 à Saint-Julien (Rhône) et mort le 10 février 1878 à Paris, est un...) Lyon 1 et Saint-Etienne/Ecole Centrale de Lyon/INSA de Lyon), de GIPSA-lab (CNRS/Grenoble-INP/ Universités Joseph Fourier et Stendhal-Grenoble 3) et du laboratoire Jean Kuntzmann (Jean Kuntzmann (1912 – 1992) fut professeur à la Faculté des Sciences de Grenoble où il dirigea le service de Mathématiques Appliquées. Il a également créé le premier laboratoire de calcul à Grenoble en 1951,...) (CNRS/Universités Joseph Fourier et Pierre Mendès France/Grenoble-INP/INRIA).

(2) Mikhail Gromov a reçu les prix Abel 2009 pour "ses contributions révolutionnaires en géométrie". Ce prix récompense des contributions majeures en mathématiques.


Référence:

Flat tori in three dimensional space and convex integration - Vincent Borrelli, Saïd Jabrane, Francis Lazarus et Boris Thibert, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States (Le United States est un paquebot construit en 1952 ; il est le plus grand jamais construit aux États-Unis, et toujours le plus rapide à ce jour.) of America (PNAS), avril 2012


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Source: CNRS