De même qu'on ne peut pas mettre à plat un globe terrestre sans perturber les distances, les tores plats, objets mathématiques abstraits, semblaient impossibles à visualiser dans notre espace. Pourtant, une équipe de mathématiciens et d'informaticiens (1) a réussi à construire et représenter visuellement une image d'un tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) plat dans l'espace à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.). Il s'agit d'une fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme...) lisse, à mi-chemin entre les fractales et les surfaces ordinaires. Ces résultats sont publiés dans PNAS.


Dans les années 50, Nicolaas Kuiper et le prix Nobel John Nash (John Nash (1752 à Londres - 13 mai 1835 à Cowes) est un architecte britannique.) ont démontré l'existence d'une représentation d'un tore plat, objet mathématique (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement à des énoncés, des suppositions.) abstrait, sans pouvoir la visualiser. Depuis, la représentation de cette surface (Il existe de nombreuses acceptions au mot surface, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, souvent abusivement confondu avec sa mesure - l'aire ou la superficie.) est restée un défi que des scientifiques lyonnais et grenoblois viennent de relever. En se basant sur la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de l'intégration convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube...) mise au point (Graphie) par Mikhail Gromov (2) dans les années 70, les chercheurs ont utilisé la technique de corrugations (oscillations). Cette technique mathématique, réputée abstraite, est utilisée dans la détermination de solutions atypiques d'équations aux dérivées partielles. Pour la première fois, elle a permis aux scientifiques d'obtenir des images d'un tore plat dans l'espace à trois dimensions. A mi-chemin entre les fractales et les surfaces ordinaires, ces images sont celles d'une fractale lisse.

Ces résultats ouvrent des perspectives inédites en mathématiques appliquées, notamment pour la visualisation des solutions des équations différentielles qu'on rencontre en physique (La physique (du grec φυσικη) est étymologiquement la science de la nature. Son champ d'application actuel est néanmoins plus restreint : la physique décrit de façon à la fois...) ou en biologie. Les étonnantes propriétés des fractales lisses pourraient également jouer un rôle central dans l'analyse de la géométrie (Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace. Cette...) des formes.

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Notes:

(1) L'équipe réunit quatre chercheurs de l'Institut Camille Jordan (CNRS/Universités Claude Bernard Lyon 1 et Saint-Etienne/Ecole Centrale de Lyon/INSA de Lyon), de GIPSA-lab (CNRS/Grenoble-INP/ Universités Joseph Fourier et Stendhal-Grenoble 3) et du laboratoire Jean Kuntzmann (Jean Kuntzmann (1912 – 1992) fut professeur à la Faculté des Sciences de Grenoble où il dirigea le service de Mathématiques Appliquées. Il a également créé le premier...) (CNRS/Universités Joseph Fourier et Pierre Mendès France/Grenoble-INP/INRIA).

(2) Mikhail Gromov a reçu les prix Abel 2009 pour "ses contributions révolutionnaires en géométrie". Ce prix récompense des contributions majeures en mathématiques.


Référence:

Flat tori in three dimensional space and convex integration - Vincent Borrelli, Saïd Jabrane, Francis Lazarus et Boris Thibert, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States (Le United States est un paquebot construit en 1952 ; il est le plus grand jamais construit aux États-Unis, et toujours le plus rapide à ce jour.) of America (PNAS), avril 2012