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Posté par Redbran le Samedi 30/04/2016 à 12:00
La théorie du contrôle d'un point de vue algébro-géométrique
La théorie du contrôle rapproche les mathématiques de l'asservissement (un domaine d'ingénierie). Quasiment toutes les branches des mathématiques trouvent leur application dans la théorie du contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.), et les problèmes rencontrés dans les systèmes et le contrôle engendrent de nouveaux défis pour les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...). Ce projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et l’intégration d’une grande diversité de...) a appliqué des techniques d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) externe, de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) algébrique et d'optimisation, pour découvrir des fréquences critiques comme les pôles et les zéros de systèmes linéaires sous compensation (transformation). Ces problèmes sont réduits pour trouver des solutions réelles d'équations non linéaires exprimés sous la forme d'intersection de variétés. Le projet a proposé une méthode pour définir des solutions exactes ou approchées.

L'entrée d'un système dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) est définie par un contrôleur avec des stimuli et des commandes, afin d'obtenir la réponse voulue par l'utilisateur. Le principal objectif de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) du contrôle est de partir du résultat voulu et de déterminer l'action nécessaire pour rattraper les différences avec le résultat constaté, via des rétroactions adéquates.

Le projet A-DAP (Approximate solutions of the determinantal assignment problem and distance problems), financé par l'UE, visait une telle formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant...) abstraite du problème. Le problème DAP (determinantal assignment problem) peut être décomposé en un problème linéaire et un autre multilinéaire. Le premier introduit une variété linéaire, le second est défini par des quadratiques qui caractérisent la variété grassmannienne d'un espace projectif. La résolution du problème DAP est réduite à l'obtention de solutions réelles des équations linéaires et non linéaires, qui représentent des intersections réelles entre les deux variétés. Ces solutions définissent les compensateurs qui attribuent des fréquences critiques du système, comme les pôles et les zéros.

Le projet A-DAP a proposé une méthode utilisant une représentation matricielle de la variété grassmannienne, des problèmes de distance entre les variétés, et des notions de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de...) approximative des tenseurs, afin de produire des solutions exactes (si le problème en a) et des solutions approchées (lorsqu'il n'existe pas d'intersection exacte des variétés). La difficulté consistait à résoudre la composante linéaire. Le projet applique un changement qualitatif de l'approche classique de découverte d'intersections réelles par géométrie algébrique, en étudiant les problèmes de distance entre les variétés impliquées.

En termes mathématiques, une variété grassmannienne dans un espace projectif caractérise tous les sous-espaces linéaires d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.). Les scientifiques ont proposé un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de nouveaux outils permettant de calculer la distance d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) donné, qui décrit la variété impliquée par la composante linéaire de la variété grassmannienne. Ils ont appliqué des techniques d'optimisation contrainte et de décomposition de tenseur pour s'attaquer au problème de la distance entre les variétés linéaire et grassmannienne. Lorsque la distance est nulle, on a trouvé une solution au problème d'intersection correspondant. À défaut, cette méthode peut fournir une solution approchée du DAP.

La solution approchée du DAP a pu être complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité d'informations qu'il...) résolue en 2D et une solution analytique a été obtenue. En outre, les chercheurs ont obtenu un algorithme numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) dédié pour les approximations de DAP avec plus de dimensions, à l'aide de la nouvelle représentation de la variété grassmannienne et de ses propriétés de dualité. Dans ce cas, la solution est obtenue en décomposant le tenseur paramétré dérivé du système d'équations linéaires.

Le projet A-DAP s'est conclu sur d'importantes extensions de cette méthode pour la révision de circuits électriques RLC (comprenant une résistance, une inductance (L'inductance d’un circuit électrique est un coefficient qui traduit le fait qu’un courant le traversant crée un champ magnétique à travers la...) et un condensateur). Il a également proposé une nouvelle formulation pour un problème de prise de décision, ouvrant la voie à des applications pratiques dans le management et la finance.

Pour plus d'information voir: Final Report Summary - A-DAP (Approximate Solutions of the Determinantal Assignment Problem and distance problems)

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Source: CORDIS-Europa
 
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