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Posté par Redbran le Samedi 10/12/2016 à 12:00
Un chaos bien plus sauvage qu'escompté
En systèmes dynamiques, les systèmes ayant une infinité d'attracteurs se révèlent bien plus fréquents que l'on ne pensait, ce qui montre la grande richesse des comportements chaotiques.


Figure: Simulation numérique d'une application polynomiale du plan ayant vraisemblablement une infinité d'attracteurs. Chaque point du plan a son orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) qui converge vers un point périodique attractif ; il est colorié suivant la période de ce dernier. Le grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de couleurs présentes montre qu'il y a un grand nombre de périodes différentes et donc un grand nombre d'attracteurs.
Des domaines variés tels que la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des...), l'économie ou encore l'écologie font émerger des systèmes mathématiques appelés systèmes dynamiques. Un tel système est un espace de phases paramétrant les états d'un système muni d'une loi d'évolution gouvernant leur comportement à court terme. Les premiers exemples de systèmes dynamiques nous viennent de la mécanique céleste (La mécanique céleste est un terme qui désigne la description du mouvement d'objets astronomiques tels que les étoiles et planètes à l'aide des théories physiques et...). Dans ce cas, l'espace des phases (L'espace des phases est un espace abstrait dont les coordonnées sont les variables dynamiques du système étudié.) est formé par l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des positions et des vitesses de chacune des planètes. La loi d'évolution est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui y...) différentielle du principe fondamental de Newton.

Pendant longtemps, on imaginait que les trajectoires des systèmes étaient bien compréhensibles et insensibles aux conditions initiales, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) comme le sont les orbites de deux corps célestes isolés. Cette vision a été bouleversée à la fin du XIXème siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération...) par Henri Poincaré (Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses...) [1] qui a découvert un système dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) formé de trois corps célestes dont les trajectoires sont d'une grande complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en sociologie, en informatique ou en sciences de...) (des courbes non analytiques) et extrêmement sensibles aux conditions initiales.
Cela a donné naissance à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) du chaos, dont l'objectif est, si l'on est optimiste, de savoir ce que l'on peut dire sur les comportements de presque toutes les trajectoires d'un système typique. En revanche, si l'on est pessimiste, cet objectif sera de montrer l'étendue de la richesse et de la complexité des comportements possibles d'un tel système.

Les écoles de Sinai et Anosov en URSS et de Smale aux USA ont suggéré un scénario optimiste, dans lequel un système dynamique typique pourrait être modélisé grâce aux outils de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que...). Un exemple paradigmatique de leur théorie est le cas de N boules en mouvement dans une boîte ayant des collisions élastiques. Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Sinai-Simanyi [2] montre que, typiquement, le système dynamique est sensible aux conditions initiales. De plus, presque toutes les trajectoires s'équi-répartissent en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer la...) dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) dans l'espace des phases. C'est ce que l'on vérifie en regardant un baromètre (Le baromètre est un instrument de mesure, utilisé en physique et en météorologie, qui sert à mesurer la pression atmosphérique. Il peut, de façon secondaire, servir d'altimètre pour...) dans une salle: le nombre de chocs sur la paroi est en moyenne constant. Un résultat similaire a été montré par Williams [3] pour l'attracteur (Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble, une courbe ou un espace vers lequel un système évolue de façon...) de Lorenz, ce-dernier modélisant les mouvements de convection (La convection est un mode de transfert de chaleur où celle-ci est advectée (transportée-conduite, mais ces termes sont en fait impropres) par au moins un fluide. Ainsi durant la cuisson des...) dans l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :). Ce sont des exemples paradigmatiques d'attracteurs statistiques.

Jusqu'à récemment, beaucoup de mathématiciens étaient optimistes en pensant que l'on pouvait modéliser un système dynamique typique par un nombre fini de tels attracteurs statistiques. Il y aurait donc eu typiquement un nombre fini d'attracteurs le long desquels une trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) typique irait s'accumuler. On savait pourtant depuis les résultats de Newhouse [4] que pour certains systèmes typiques, il existe des perturbations du système ayant une infinité d'attracteurs, munis chacun d'un comportement statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode...) très différent. Cependant ces perturbations étaient conjecturées comme improbables et donc non typiques. Récemment, Pierre Berger (Un berger (une bergère) est une personne chargée de guider et de prendre soin des troupeaux de moutons (quand il n'y a pas de complément de nom, il s'agit toujours de troupeaux de moutons), ou...) a montré [5] que certains de ces systèmes n'étaient pas improbables et même abondants. Il va même plus loin en conjecturant [6] que certains systèmes typiques ne sont pas modélisables par des statistiques. Il a pour cela introduit un nouveau concept mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...): l'émergence. C'est assurément un résultat dérangeant, car il montre que le chaos s'avère bien plus sauvage que l'on espérait, mais suggère une grande richesse dans les comportements chaotiques possibles.

Références:
[1] H. Poincaré, Sur le problème des trois corps et les équation de la dynamique, Acta mathematica, 13, p. 1- 270 (1890).
[2] N. Simányi, The K-property of N billiard balls I., Invent. Math. 108, p. 521–548 (1992)
[3] R. F. Williams, The structure of Lorenz attractors, Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., 50, p. 73-99? (1979).
[4] S.E. Newhouse, Diffeomorphisms with infinitely many sinks, Topology, 13, p. 9-18 (1974).
[5] P. Berger, Generic family with robustly infinitely many sinks, Inventiones Mathematicae, 205, 121 (2016).
[6] P. Berger, Emergence and non-typicality of the finiteness of the attractors in many topologies, arXiv:1609.08803,09/2016.


Contact CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).):
Pierre Berger | Laboratoire Analyse, Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) et Applications| UMR 7539 | CNRS, Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études supérieures). Aux États-Unis, au...) Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine,...) 13 et Université Paris 8.

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Source: CNRS