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Posté par Redbran le Samedi 10/12/2016 à 12:00
Un chaos bien plus sauvage qu’escompté
En systèmes dynamiques, les systèmes ayant une infinité d’attracteurs se révèlent bien plus fréquents que l’on ne pensait, ce qui montre la grande richesse des comportements chaotiques.


Figure: Simulation numérique d’une application polynomiale du plan ayant vraisemblablement une infinité d’attracteurs. Chaque point du plan a son orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) qui converge vers un point périodique attractif ; il est colorié suivant la période de ce dernier. Le grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de couleurs présentes montre qu’il y a un grand nombre de périodes différentes et donc un grand nombre d’attracteurs.
Des domaines variés tels que la mécanique des fluides, l’économie ou encore l’écologie font émerger des systèmes mathématiques appelés systèmes dynamiques. Un tel système est un espace de phases paramétrant les états d’un système muni d’une loi d’évolution gouvernant leur comportement à court terme. Les premiers exemples de systèmes dynamiques nous viennent de la mécanique céleste. Dans ce cas, l’espace des phases (L'espace des phases est un espace abstrait dont les coordonnées sont les variables dynamiques du système étudié.) est formé par l’ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des positions et des vitesses de chacune des planètes. La loi d’évolution est donnée par l’équation différentielle du principe fondamental de Newton.

Pendant longtemps, on imaginait que les trajectoires des systèmes étaient bien compréhensibles et insensibles aux conditions initiales, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) comme le sont les orbites de deux corps célestes isolés. Cette vision a été bouleversée à la fin du XIXème siècle par Henri Poincaré [1] qui a découvert un système dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) formé de trois corps célestes dont les trajectoires sont d’une grande complexité (des courbes non analytiques) et extrêmement sensibles aux conditions initiales.
Cela a donné naissance à la théorie du chaos, dont l’objectif est, si l’on est optimiste, de savoir ce que l’on peut dire sur les comportements de presque toutes les trajectoires d’un système typique. En revanche, si l’on est pessimiste, cet objectif sera de montrer l’étendue de la richesse et de la complexité des comportements possibles d’un tel système.

Les écoles de Sinai et Anosov en URSS et de Smale aux USA ont suggéré un scénario optimiste, dans lequel un système dynamique typique pourrait être modélisé grâce aux outils de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de...). Un exemple paradigmatique de leur théorie est le cas de N boules en mouvement dans une boîte ayant des collisions élastiques. Un théorème de Sinai-Simanyi [2] montre que, typiquement, le système dynamique est sensible aux conditions initiales. De plus, presque toutes les trajectoires s’équi-répartissent en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...) dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) dans l’espace des phases. C’est ce que l’on vérifie en regardant un baromètre dans une salle: le nombre de chocs sur la paroi est en moyenne constant. Un résultat similaire a été montré par Williams [3] pour l’attracteur (Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble, une courbe ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en...) de Lorenz, ce-dernier modélisant les mouvements de convection (La convection est un mode de transfert de chaleur où celle-ci est advectée (transportée-conduite, mais ces termes sont en fait impropres) par au moins un fluide. Ainsi durant la cuisson...) dans l’atmosphère. Ce sont des exemples paradigmatiques d’attracteurs statistiques.

Jusqu’à récemment, beaucoup de mathématiciens étaient optimistes en pensant que l’on pouvait modéliser un système dynamique typique par un nombre fini de tels attracteurs statistiques. Il y aurait donc eu typiquement un nombre fini d’attracteurs le long desquels une trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) typique irait s’accumuler. On savait pourtant depuis les résultats de Newhouse [4] que pour certains systèmes typiques, il existe des perturbations du système ayant une infinité d’attracteurs, munis chacun d’un comportement statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données. Dans...) très différent. Cependant ces perturbations étaient conjecturées comme improbables et donc non typiques. Récemment, Pierre Berger (Un berger (une bergère) est une personne chargée de guider et de prendre soin des troupeaux de moutons (quand il n'y a pas de complément de nom, il s'agit toujours de troupeaux de...) a montré [5] que certains de ces systèmes n’étaient pas improbables et même abondants. Il va même plus loin en conjecturant [6] que certains systèmes typiques ne sont pas modélisables par des statistiques. Il a pour cela introduit un nouveau concept mathématique: l’émergence. C’est assurément un résultat dérangeant, car il montre que le chaos s’avère bien plus sauvage que l’on espérait, mais suggère une grande richesse dans les comportements chaotiques possibles.

Références:
[1] H. Poincaré, Sur le problème des trois corps et les équation de la dynamique, Acta mathematica, 13, p. 1- 270 (1890).
[2] N. Simányi, The K-property of N billiard balls I., Invent. Math. 108, p. 521–548 (1992)
[3] R. F. Williams, The structure of Lorenz attractors, Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., 50, p. 73-99? (1979).
[4] S.E. Newhouse, Diffeomorphisms with infinitely many sinks, Topology, 13, p. 9-18 (1974).
[5] P. Berger, Generic family with robustly infinitely many sinks, Inventiones Mathematicae, 205, 121 (2016).
[6] P. Berger, Emergence and non-typicality of the finiteness of the attractors in many topologies, arXiv:1609.08803,09/2016.


Contact CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).):
Pierre Berger | Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications| UMR 7539 | CNRS, Université Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite...) 13 et Université Paris 8.

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Source: CNRS
 
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