Recouvrir une surface plane avec un motif unique est un problème mathématique qui intéresse l'Homme depuis l'Antiquité, notamment pour la qualité esthétique des pavages, comme les mosaïques et les carrelages. L'un des problèmes encore ouvert dans ce domaine, qui questionne la communauté
scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...) depuis 1918, est aujourd'hui définitivement clos grâce à Michaël Rao du Laboratoire d'
informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université
Claude Bernard (Claude Bernard, né le 12 juillet 1813 à Saint-Julien (Rhône) et mort le...) Lyon 1): en utilisant des outils informatiques, il a démontré que pour des motifs à cinq côtés, seules 15 formes sont possibles pour recouvrir une
surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...). Ces travaux sont aujourd'hui disponibles sur le site
Arxiv.org.
Les 15 types de pavages pentagonaux et leurs 4 types particuliers.
© Michaël Rao, Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1).
Pour recouvrir un sol avec une seule et même forme, il existe de nombreuses solutions: triangles, carrés, rectangles, hexagones, etc. La recherche exhaustive de toutes les formes convexes pouvant paver un plan, c'est-à-dire une forme avec des angles inférieurs à 180° et qui permettent de recouvrir tout un mur sans chevauchement, fut initiée par Karl Reinhardt durant sa
thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est...) en 1918. Il a montré que tous les triangles et quadrilatères pavent le plan, qu'il n'existe que 3 types d'hexagones qui permettent de réaliser un
pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le...) et qu'un
polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) à sept côtés ou plus ne permet pas de recouvrir un plan. Seule la question des pentagones restait ouverte.
De 1918 à 2015, 15 types de pentagones ont été découverts, lors de recherches plutôt singulières: initiée par Reinhardt en 1918, elle a subi plusieurs rebondissements, comme des nouvelles découvertes de mathématiciens amateurs, jusqu'à l'annonce médiatisée, en 2015, d'une nouvelle et 15e forme, 30 ans après la 14e, sans que la communauté scientifique ne parvienne à déterminer s'il existait encore d'autres formes de pentagones possibles pour paver un plan.
Michaël Rao, chercheur du CNRS au Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1) a aujourd'hui définitivement montré qu'il n'existe qu'un
ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une...) de familles
(1) de pentagones à considérer. En générant toutes les possibilités via un
programme informatique (Un programme informatique est une liste d'ordres indiquant à un ordinateur ce qu'il doit faire. Il...) (2), Michaël Rao a montré que 371 familles de pentagones pouvaient potentiellement recouvrir un plan. Il a ensuite testé chacune de ces familles, à l'aide d'un autre programme informatique, et a montré que seuls 19 types de pentagones satisfaisaient les conditions nécessaires, à la fois pour les angles et la
longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) des côtés, pour paver un plan. Parmi ces 19 types, 15 correspondent à des types déjà connus, et les quatre autres s'avèrent être des cas particuliers de ces 15 types. Seuls 15 types de tuiles sont donc possibles pour un recouvrir une surface plane.
Avec sa méthodologie, Michael Rao clôt ainsi un problème vieux d'un siècle, mais pas seulement. Toutes les tuiles convexes pavent le plan de façon périodique (c'est-à-dire que le pavage se répète à l'infini). On ne sait pas encore s'il existe une
tuile (La tuile est un élément de construction utilisé dans le bâtiment comme pièce de couverture...) qui permet de réaliser un pavage non-périodique. Or, la plupart des techniques utilisées ici peuvent également être utilisées dans le cas des polygones non convexes et pourraient donc servir de base à la résolution de cet autre problème encore ouvert dans le domaine des pavages, plus connu sous le nom d' "Einstein Problem" (de l'allemand "ein stein").
Notes:
(1) Une "famille" est un ensemble de conditions portant uniquement sur les angles du pentagone.
(2) L'exhaustivité de cette liste a également été revérifiée, de manière indépendante, par Thomas Hales qui a notamment prouvé la conjecture de Kepler par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant...).