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Posté par Adrien le Dimanche 01/10/2017 à 00:00
Il n'existe que 15 pavages pentagonaux possibles
Recouvrir une surface plane avec un motif unique est un problème mathématique qui intéresse l'Homme depuis l'Antiquité, notamment pour la qualité esthétique des pavages, comme les mosaïques et les carrelages. L'un des problèmes encore ouvert dans ce domaine, qui questionne la communauté scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes...) depuis 1918, est aujourd'hui définitivement clos grâce à Michaël Rao du Laboratoire d'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement...) du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard (Claude Bernard, né le 12 juillet 1813 à Saint-Julien (Rhône) et mort le 10 février 1878 à Paris, est un médecin et physiologiste...) Lyon 1): en utilisant des outils informatiques, il a démontré que pour des motifs à cinq côtés, seules 15 formes sont possibles pour recouvrir une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le...). Ces travaux sont aujourd'hui disponibles sur le site Arxiv.org.


Les 15 types de pavages pentagonaux et leurs 4 types particuliers.
© Michaël Rao, Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1).

Pour recouvrir un sol avec une seule et même forme, il existe de nombreuses solutions: triangles, carrés, rectangles, hexagones, etc. La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également le...) exhaustive de toutes les formes convexes pouvant paver un plan, c'est-à-dire une forme avec des angles inférieurs à 180° et qui permettent de recouvrir tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) un mur (Un mur est une structure solide qui sépare ou délimite deux espaces.) sans chevauchement, fut initiée par Karl Reinhardt durant sa thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à...) en 1918. Il a montré que tous les triangles et quadrilatères pavent le plan, qu'il n'existe que 3 types d'hexagones qui permettent de réaliser un pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble...) et qu'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite...) à sept côtés ou plus ne permet pas de recouvrir un plan. Seule la question des pentagones restait ouverte.

De 1918 à 2015, 15 types de pentagones ont été découverts, lors de recherches plutôt singulières: initiée par Reinhardt en 1918, elle a subi plusieurs rebondissements, comme des nouvelles découvertes de mathématiciens amateurs, jusqu'à l'annonce médiatisée, en 2015, d'une nouvelle et 15e forme, 30 ans après la 14e, sans que la communauté scientifique ne parvienne à déterminer s'il existait encore d'autres formes de pentagones possibles pour paver un plan.

Michaël Rao, chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la recherche. Il est difficile de bien cerner le métier de chercheur tant les domaines de recherche...) du CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).) au Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1) a aujourd'hui définitivement montré qu'il n'existe qu'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) de familles (1) de pentagones à considérer. En générant toutes les possibilités via un programme informatique (Un programme informatique est une liste d'ordres indiquant à un ordinateur ce qu'il doit faire. Il se présente sous la forme d'une ou plusieurs séquences d'instructions, comportant souvent des données de base,...) (2), Michaël Rao a montré que 371 familles de pentagones pouvaient potentiellement recouvrir un plan. Il a ensuite testé chacune de ces familles, à l'aide d'un autre programme informatique, et a montré que seuls 19 types de pentagones satisfaisaient les conditions nécessaires, à la fois pour les angles et la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) des côtés, pour paver un plan. Parmi ces 19 types, 15 correspondent à des types déjà connus, et les quatre autres s'avèrent être des cas particuliers de ces 15 types. Seuls 15 types de tuiles sont donc possibles pour un recouvrir une surface plane.

Avec sa méthodologie, Michael Rao clôt ainsi un problème vieux d'un siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...), mais pas seulement. Toutes les tuiles convexes pavent le plan de façon périodique (c'est-à-dire que le pavage se répète à l'infini). On ne sait pas encore s'il existe une tuile (La tuile est un élément de construction utilisé dans le bâtiment comme pièce de couverture pour la toiture.) qui permet de réaliser un pavage non-périodique. Or, la plupart des techniques utilisées ici peuvent également être utilisées dans le cas des polygones non convexes et pourraient donc servir de base à la résolution de cet autre problème encore ouvert dans le domaine des pavages, plus connu sous le nom d' "Einstein Problem" (de l'allemand "ein stein").

Notes:

(1) Une "famille" est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de conditions portant uniquement sur les angles du pentagone.
(2) L'exhaustivité de cette liste a également été revérifiée, de manière indépendante, par Thomas Hales qui a notamment prouvé la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Kepler par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler des données...).


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Source: CNRS