buck a écrit : ↑25/05/2020 - 10:54:38
Perso je ne comprend pas le theoreme, comment il se construit oui mais pas "on arrive necessairement a un n tel que g(n)=0"
Bonjour buck,
On voit bien, d'après la construction des g(n) que g(4) > g(3) > g'(2)
Or, ce théorème, qui est démontré en utilisant la théorie des nombres ordinaux, nous apprend que tôt ou trad en poursuivant la suite des g(n) où n est un entier, 'on obtient pour un n un g(n) = 0 ce qui est totalement contre intuitif et de plus indémontrable avec la théorie de l'arithmétique quelque soit le système d'axiomes choisi.
Un des principaux intérêts de ce théorème est de donner un exemple illustrant le célèbre théorème d'incomplétude de l'arithmétique de Kurt Gödel. Traduit en français de tous les jours, ce théorème peut être énoncé ainsi : Soit S un système d'axiomes de l'arithmétique. Alors, il existe des propositions vraies (théorèmes) indémontrables dans S.
Bien sûr, on pourrait suggérer d'ajouter une telle proposition vraie indémontrable comme axiome supplémentaire au système d'axiomes, mais le théorème de Gödel est à ce point puissant que la nouvelle théorie obtenue en ajoutant ce nouvel axiome contiendra à son tour des propositions vrais non démontrables dans ce nouveau système d'axiomes etc. Cela signifie que pour que l'arithmétique soit complète, elle nécessiterait un nombre infini d'axiomes.
Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ont révolutionné la logique mathématique autant que la Relativité (retreinte et générale) a révolutionné la physique.
Cordialement.
P.S. Vous aurez plus de détails en demandant à un moteur de recherche qu'il vous en dise plus sur "La suite de Goodstein".
Permettez-moi de vous conseiller :
http://blog.kleinproject.org/?p=722&lang=fr
