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Bonjour,je suis nouvelle dans le forum,je suis en première année de la fac et j'ai un petit problème dans la compréhension de la convergence d'une suite numérique.

voilà ce que le prof nous a écrit:
soit (U(n)) une suite numérique,on dit que (U(n)) converge vers l si et seulement si pour tout x>0 il existe n>N(x) tel que pour tout n>N(x) |U(n)-l|<x
pour tout x>0 il existe N(x)>0 tel que pour tout n>N(x) l-x<U(n)>x+1
on note lim U(n)=l

exemple:U(n)=1/n
soit x>0,
on veut que 1/n<x à partir d'un certain N(x),(pour tout x>=N(x))
c'est à dire n>1/x
donc il suffit de prendre N(x)=E(1/x)+1
donc n>=N(x)==>n>=E(1/x)+1>1/x
alors lim U(n)=0

si quelqu'un peut m'expliquer ceci ça sera très gentil ou me donner une solution plus simple à comprendre.

si tu fais tendre la fonction 1/x vers l'infini sa limite à l'infini c'est 0 et si tu prends n'importe quelle fonction qui décroit plus rapidement que 1/x forcément elles tendent toutes vers 0... NB La fonction 1/x est une série parce qu'elle n'est pas définie pour x= 0.... Le raisonnement est pareil pour une série convergente ver 0

FatiFlower a écrit :Bonjour,je suis nouvelle dans le forum,je suis en première année de la fac et j'ai un petit problème dans la compréhension de la convergence d'une suite numérique.

Déjà qu'est-ce que tu as compris ?
Qu'est-ce que tu n'as pas compris ?
En quelle option es-tu ?

FatiFlower a écrit :voilà ce que le prof nous a écrit:
soit (U(n)) une suite numérique,on dit que (U(n)) converge vers l si et seulement si pour tout x>0 il existe n>N(x) tel que pour tout n>N(x) |U(n)-l|<x

Déjà il y a une erreur là :

FatiFlower a écrit :pour tout x>0 il existe N(x)>0 tel que pour tout n>N(x) l-x<U(n)>l+x
on note lim U(n)=l

exemple:U(n)=1/n
soit x>0,
on veut que 1/n<x à partir d'un certain N(x),(pour tout x>=N(x))
c'est à dire n>1/x
donc il suffit de prendre N(x)=E(1/x)+1
donc n>=N(x)==>n>=E(1/x)+1>1/x
alors lim U(n)=0

si quelqu'un peut m'expliquer ceci ça sera très gentil ou me donner une solution plus simple à comprendre.

Bonjour,

je suis en filière mip(mathématique informatique physique).

la notion de convergence d'une suite je l'ai bien compris,ce que je n'ai pas compris c'est l'exemple donné et précisément la ligne:donc il suffit de prendre N(x)=E(1/x)+1 donc n>=N(x)==>n>=E(1/x)+1>1/x

merci

FatiFlower a écrit :soit (U(n)) une suite numérique,on dit que (U(n)) converge vers l si et seulement si pour tout x>0 il existe n>N(x) tel que pour tout n>N(x) |U(n)-l|<x
pour tout x>0 il existe N(x)>0 tel que pour tout n>N(x) l-x<U(n)>l+x
on note lim U(n)=l

Déjà ma première question est : est-ce que tu as compris la définition de la limite, celle qui est explicitée ci-dessus ?
Si tu as bien compris la définition, normalement la suite doit être limpide.

FatiFlower a écrit :exemple:U(n)=1/n
soit x>0,

ce x est quelconque, puisque selon la définition, on peut prendre n'importe quel x positif, et à partir d'un certain rang, la suite u(n) est aussi proche que l'on veut de l.

FatiFlower a écrit :on veut que 1/n<x à partir d'un certain N(x),(pour tout n>=N(x))

Il y a une erreur.
Bon j'espère que ce sont des fautes de frappe, parce que si ton cours est faux... c'est normal que tu ne comprenne rien.
Est-ce que tu as vu les 2 fautes que j'ai souligné ?

Donc pour l=0, on veut pour x>0 quelconque que :
u(n) <= x+ l soit donc x, pour n à partir d'un certain rang (ce rang dépend bien-sûr de x).
Soit : 1/n <= x

FatiFlower a écrit :c'est à dire n>1/x
donc il suffit de prendre N(x)=E(1/x)+1
donc n>=N(x)==>n>=E(1/x)+1>1/x
alors lim U(n)=0

Ton n doit être supérieure ou égale à l'inverse de x.
Comme n doit être entier, tu prends tout simplemement la partie entière de 1/x +1

Exemple, tu veux que la suite soit plus petit que 0.34567889, son inverse vaut 2,89
Tu dois prendre n>2,89 soit donc 3.
Cela revient à prendre sa partie entière et rajouter 1.

FatiFlower a écrit :si quelqu'un peut m'expliquer ceci ça sera très gentil ou me donner une solution plus simple à comprendre.

Bonjour,
merci beaucoup pour les explications,ça m'a bien aidé ,j'ai commencé à comprendre à le cours.

j'ai compris la ligne "donc il suffit de prendre N(x)=E(1/x)+1 donc n>=N(x)==>n>=E(1/x)+1>1/x"

mais pour l'erreur ,désolé mais je n'ai pas vu les 2 fautes que vous avez souligné.

merci.