[Dossier] Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications

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[Dossier] Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:08:09

Les objets fractals, appelés également fractales, sont des images qui présentent certaines caractéristiques précises et c'est donc par l'image que nous allons faire connaissance avec eux. Tels des téléspectateurs qui apprécient des images sans avoir étudié les circuits électroniques de l'appareil, nous découvrirons les fractales de façon visuelle, sensorielle. Ce qui nous touche, c'est la beauté de certaines de ces images. Elles ont inspiré de nombreux artistes qui ont contribué ...
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Ramifications et répétition

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:09:06

Les fractales sont des images élaborées sur une base géométrique (ou topologique), comportant des ensembles de points, de lignes, ou de surfaces qui sont reliés entre eux selon des règles précises. Ces dessins sont calculés mathématiquement et peuvent être représentés graphiquement sur écran d'ordinateur. Pour comprendre ce que signifient les liens entre lignes, nous allons prendre comme exemple le dessin d'un arbre généalogique, par exemple celui des descendants d'un couple. P...
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Chou-fleur et fougère

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:09:43

Observant un chou-fleur coupé en deux, nous constatons que les branches principales se ramifient en plusieurs branches plus petites. Chacune de ces branches se ramifie à son tour et ainsi de suite pendant 5 à 8 fois. Dans cet "objet" naturel, nous retrouvons la ramification et la répétition. Un caractère nouveau s'est introduit: chaque division s'accompagne d'une réduction de la taille des branches. Examinons une fougère, nous retrouvons exactement le même phénomène....
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Fleuves et changements d'échelle

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:10:12

La nature nous offre bien d'autres exemples de structures qui se reproduisent sur une vaste gamme d'échelle. Examinons la disposition du bassin du fleuve Amazone (ill.4a). Si l'on imagine qu'on le remonte à partir de son embouchure, il se ramifie en ses affluents. Sur une photographie aérienne à grande échelle, on distingue le fleuve et ses affluents, mais les petits ruisseaux ne sont pas visibles. En augmentant le grossissement, les affluents se révèlent eux aussi ramifiés par les ruiss...
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Excroissances dans un carré et un triangle

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:11:36

Nous quittons le monde réel et nous allons nous amuser à inventer des formes selon le principe de division et ramification par une règle de construction répétitive. Délaissant les branches des dessins précédents, nous allons utiliser un procédé de ramification qui crée des bosses. De plus, tandis que les ramifications précédentes formaient un éventail avançant dans une direction, nos excroissances s'étendent maintenant dans toutes les directions du plan. Partons d'un carré qu...
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Paysages fractals

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:12:40

Les exemples de la fougère, du chou-fleur, des fleuves, du flocon de neige nous montrent que de nombreuses formes naturelles sont construites approximativement sur le modèle de structures fractales. C'est le cas chaque fois que ces formes sont fractionnées ou enchevêtrées et que leur structure est semblable sur une gamme d'échelles étendue. On trouve ces caractéristiques dans la matière qui résulte d'un processus de croissance, développement, agglomération ou concrétion: arbres, vai...
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Matière poreuse et agglomérats

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:13:19

Revenons aux procédés répétitifs déterminés, et constatons que dans les cas précédents, ramifications et excroissances concernent des lignes que nous allongeons. Or pourquoi ne pas ajouter ou enlever aussi des surfaces et des volumes? C'est ce qu'a étudié au début du vingtième siècle le mathématicien polonais Wacław Franciszek Sierpiński avant que ne soit précisée la notion de fractale, à partir d'un triangle ou d'un quadrilatère. Voici un exemple de trous effectués ...
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Classer les points d'un terrain en catégories

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:15:37

Nous abordons maintenant une troisième catégorie de fractales qui, tout en conservant le principe de répétition et d'autosimilarité, font appel à un autre procédé d'élaboration. Il consiste à séparer les points du plan en deux classes selon un critère particulier. Ceux qui sont en accord avec ce critère sont retenus dans une classe et représentés (par exemple) en noir. Les autres constituent l'autre classe et restent en blanc. Imaginons ce plan comme un immense terrain pla...
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Notion de dimensionnalité

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:16:03

Ayant fait le tour de la description des images fractales, nous allons maintenant entrer dans le domaine des dimensions et des mesures car les fractales présentent sur ce point une particularité remarquable qui a surpris et excité les mathématiciens qui les étudiaient. Les fractales ont une dimensionnalité fractionnaire. Pour comprendre cela, il faut juste dire quelques mots sur ce qu'est la dimensionnalité. Prenons un objet familier, par exemple un morceau de tissu d'une longueur de 1...

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En savoir plus

Message par Publication » 27/06/2008 - 23:24:49

- Les Fractales, le site très riche de Jean-Pierre Louvet, ancien professeur à l'Université de Bordeaux. Nombreuses images, généralités sur les fractales et sur leur découverte. - Brève histoire illustrée des fractales, le site de Jean-François Colonna, École Polytechnique de Palaiseau, France. Chercheur et créateur d'images. - Les fractales, découvrir ces objets mathématiques mystérieux. Un site didactique très documenté et bien illustré - Fractale, article de Wikipedia -...

Chirollet
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Message par Chirollet » 17/11/2008 - 9:28:30

C'est un excellent article, très intuitif, de vulgarisation et d'approche de la géométrie fractale. - Il faut aussi insister sur le fait que les fractales sont une source d'inspiration artistique et philosophique très importante, depuis les années 1980. J'ai consacré, notamment, un livre à cette question du rapport très important des arts fractalistes et de la géométrie fractale et du chaos, intitulé : "Art fractaliste - La Complexité du regard", éditions L'Harmattan, Collection Champs Visuels, Paris, 2005 (avec 60 illustrations artistiques en noir et blanc).

Victor
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Message par Victor » 18/11/2008 - 15:21:51

Moi ce qui me surprends le plus et qui me déroute dans les fractals... C'est de savoir les tracer... Les graphes sont une bijection de C dans C, ça surprends de savoir où on est, la variable z, et où l'on aboutit, la fonction de z... De plus les questions des limites ne sont pas conventionnelles

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Re: [Dossier] Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications

Message par cisou9 » 17/10/2010 - 18:46:07

:_salut:
Excellent travail, très pédagogique. ;)
Un homme est heureux tant qu'il décide de l'être et nul ne peux l'en empêcher.
Alexandre Soljenitsyne.

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Re: [Dossier] Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications

Message par Zoharion » 20/10/2010 - 20:52:32

Ça c'est du dossier.

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bongo1981
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Message par bongo1981 » 21/10/2010 - 13:31:56

Victor a écrit :Moi ce qui me surprends le plus et qui me déroute dans les fractals... C'est de savoir les tracer... Les graphes sont une bijection de C dans C, ça surprends de savoir où on est, la variable z, et où l'on aboutit, la fonction de z... De plus les questions des limites ne sont pas conventionnelles
Ben... non...
Pour construire la fractale très connue, tu fixes un nombre complexe c = x + iy
Tu prends une fonction f de C --> C, z --> z²+c
Ensuite tu calcules f(z), f²(z), ..., f^n (z) et tu regardes si ça tend plus ou moins vite vers 0, c'est ce qui te permet de coder en couleur. Ex : si f^n(z) = 0 pour n<5 tu mets du noir, 5<n<10 tu mets du rouge etc...

Ce que tu représentes c'est le plan complexe, donc le point M d'affixe z, avec la couleur définie.

Il n'y a pas de bijection de C dans C ni de notion de limite...

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kum
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Re: [Dossier] Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications

Message par kum » 13/12/2010 - 17:58:53

Merci pour cet article, ça faisait longtemps que je n'étais plus venu et je voilà que je tombe directement sur un article qui me plait bien ^^ ...
Un problème sans solution est un problème mal posé.
Albert Einstein

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