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Algèbre

Introduction

L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.

L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) universelle.

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin.

Histoire

Antiquité

Les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du premier ou second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :).

Par exemple, le Papyrus Rhind (conservé au British Museum de Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville d'Angleterre et du Royaume-Uni. Fondée il y a plus de 2 000 ans par les Romains, la ville est aujourd'hui devenue un centre culturel,...), il date de -1650, ère chrétienne) comporte l'énoncé suivant :

On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?

Cependant, ils ne faisaient pas de l'algèbre, car ils n'effectuaient pas de calcul sur une inconnue.

Diophante, au IIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4...) de l'ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue en tant que nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l'algèbre.

Monde (Le mot monde peut désigner :) arabo-musulman

Page d'Algebra d'al-Khwarizmi

Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr (الجبر), qui est devenu algebra en latin et qui signifie « la réunion » (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion » (en espagnol le mot algebrista désigne celui qui pratique le calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n'était pratiqué que le calcul numérique ou l’algèbre...) mais aussi le rebouteux, celui qui sait réduire les fractures osseuses).

C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...) d'origine persane Al-Khawarizmi qui reprend, dans la première partie du IXe siècle, les travaux de Diophante d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte : Rakot?, Arabe : ??????????, Al-?Iskandariya) est une ville d’Égypte de près de quatre millions...) (IIIe siècle). Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques (la culture (La définition que donne l'UNESCO de la culture est la suivante [1] :) de l'époque voulait que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) savoir soit traduit en arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne « algèbre ». Une large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...). Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.

Après un voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est...) dans le nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) de l'Afrique (D’une superficie de 30 221 532 km2 en incluant les îles, l’Afrique est un continent couvrant 6 % de la surface terrestre et 20,3 % de la surface des terres émergées....), Léonard de Pise dit Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise),...) fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.). Dès son retour au pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de...), il est parmi les premiers à populariser les chiffres arabes (Les chiffres arabes, qui furent d'abord utilisés en France puis dans toute l'Europe et enfin dans le monde entier, ont été empruntés aux Arabes, qui les avaient eux-mêmes empruntés aux...) et le système décimal en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme...) et travaille sur sa fameuse suite.

XVIe siècle : Europe

François Viète

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...), invention indienne que les mathématiciens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à Cordoue.

Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen des algorithmes nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à peu l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle (del Ferro (El Hierro, également connue sous le nom d'île de Fer ou Ferro, est la plus petite et la plus occidentales des îles Canaries. Elle est connue en Espagne pour les lézards géants qui y vivent.), Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) du 3e degré (ou équation cubique). Ferrari ( Automobiles et motos Ferrari, constructeur automobile italien dont le nom provient de son fondateur Enzo Ferrari. Scuderia Ferrari, l'écurie de course du...), élève de Cardan, résout l'équation du 4e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au XVIIe siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres .

Au XVIIe siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) :

Théorème — Toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant chacune avec son éventuelle multiplicité).

Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :

Théorème — Le corps \ _\mathbb C des nombres complexes muni de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes. En...) et de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) est algébriquement clos.

Le XIXe siècle s'intéresse désormais à la calculabilité (La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est une branche de la logique mathématique et de l'informatique théorique. Alors que la notion intuitive de fonction calculable est aussi vieille que les...) des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Une étape décisive était franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra à Euler d'énoncer sa célèbre formule eiπ = − 1.

Algèbre moderne

Ernst Kummer

Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations...), longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps quelconque annule son...) (« Toute matrice carrée à coefficients dans \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C annule son polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace...) et la trigonalisation (En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n'est pas tout le temps possible, mais seulement sous certaines conditions.) des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XXe siècle, la programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la...) des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la...). L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces...) et algèbre tensorielle.

Au début du XXe siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude...) et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept...) et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques (En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension de corps finie du corps des nombres rationnels. Ceci signifie que c'est un corps qui contient et qui...). Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...) des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle (En mathématique, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissance exponentielle (ou géométrique) lorsque la croissance en valeur absolue de la population est...) à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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