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Angle

Introduction

En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.

Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de plan délimitée par deux droites sécantes. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un polygone. Cependant, l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) est maintenant d'employer le terme « secteur angulaire » pour une telle figure. L'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) peut désigner également une portion de l'espace délimitée par deux plans (angle diédral). La mesure de tels angles porte couramment mais abusivement le nom d'angle elle aussi.

En un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) plus abstrait, l'angle est une classe d'équivalence, c'est-à-dire un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) obtenu en assimilant entre eux tous les angles-figures identifiables par isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.). L'une quelconque des figures identifiées est alors appelée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait.

Il est possible de définir une notion d'angle orienté en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...) du plan, ainsi que d'étendre la notion d'angle au cadre des espaces vectoriels préhilbertiens ou des variétés riemanniennes.

Le mot angle dérive du latin angulus, le coin.

L'angle comme figure du plan ou de l'espace

Secteur angulaire et angle

secteurs angulaires obtenus par intersection des demi-plans délimités par des droites sécantes

Un secteur angulaire est une figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame....) obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.

L'angle d'un secteur angulaire est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les unités utilisées pour le quantifier sont le radian (Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée d'angle plan du système international (SI).), le quadrant (En géométrie euclidienne : quart de la circonférence du cercle (lui-même divisé en 100 grades ou 90 degrés et leurs subdivisions respectives). Chacune des quatre portions du plan délimitées par un système de coordonnées...) et ses subdivisions le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :), ses sous-unités et le grade (Le mot grade a plusieurs significations :). Les angles sont fréquemment notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ... Lorsque l'angle est au sommet d'un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.

L'angle peut aussi s'interpréter comme l'ouverture du secteur angulaire, c'est-à-dire la « vitesse » à laquelle s'éloignent les droites l'une de l'autre lorsque l'on s'éloigne du point (Graphie) d'intersection. C'est la mesure de l'inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite autour d'un autre. Il décrit l'angle entre le plan de l'orbite et le plan de référence...) d'une droite par rapport à l'autre.

Valeur d'un angle

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) des angles par la proportion d'une portion de disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) centré sur l'intersection des droites

Pour évaluer cet angle, cette « proportion de surface », on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'aire de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient également à faire le rapport entre la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) de l'arc intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est appelée nombre de tour. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au quadrant.

Une unité couramment utilisée est le degré, qui consiste à subdiviser le quadrant en 90 parts égales. Le tour complet correspond donc à 360 degrés. La minute ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au...) d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/3600 de degré. On utilise plus rarement le grade, qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant.

Définition du radian, unité de mesure (En physique et en métrologie, les unités sont des étalons pour la mesure de grandeurs physiques qui ont besoin de définitions précises pour être utiles.) de l'angle

L'unité internationale de mesure des angles est cependant le radian, défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...). Le tour complet correspond donc à radians.

Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de polygones, notamment de triangles, en utilisant la trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des...).

Dans certains cas, les angles sont exprimés par leur tangente. Par exemple, une pente est exprimée en pourcent, c'est le nombre de mètres que l'on monte (ou descend) lorsque l'on parcourt 100 m par rapport à l'horizontale ; si α est l'angle entre la droite de plus grande pente et l'horizontale, alors la pente en % est égale à 100×tan(α). En vol à voile (Le vol à voile est une activité de loisirs et de compétition au cours de laquelle ses adeptes appelés vélivoles utilisent un aérodyne appelé planeur. Alors que certains vélivoles apprécient la liberté, le...) (aéronautique), la finesse d'une voile est le nombre de mètres dont on descend lorsque l'on a parcouru 100 m horizontalement (en absence de vent) ; il s'agit également de cent fois la tangente de la pente.

L'unité de mesure des angles utilisée principalement par les militaires est le millième. Il est l'angle sous lequel on voit 1 mètre à 1 kilomètre. 6283 millièmes correspond à 2π radians ou 360 degrés, soit 360 °/arctan(1 m/1000m)

« Sur le terrain », les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé goniomètre ; il comporte en général une règle courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) graduée en degrés, appelée rapporteur (Un rapporteur (ou rapporteur d'angle) est un outil utilisé en géométrie pour mesurer des angles et pour construire des figures. Les rapporteurs utilisés par les...).

Nom des angles

Les angles correspondant à un nombre entier de quadrants portent un nom particulier

angle nombre de tour nombre de quadrants radians degré grade
angle plein 1 tour 4 quadrants 2π rad 360 ° 400 gr
angle plat 1/2 tour 2 quadrants π rad 180 ° 200 gr
angle droit 1/4 de tour 1 quadrant π/2 rad 90 ° 100 gr
angle nul 0 tour 0 quadrant 0 rad 0 ° 0 gr

L'angle droit est obtenu en considérant deux droites qui divisent le plan en quatre secteurs égaux. De telles droites sont dites « orthogonales » ou « perpendiculaires ».

Définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires

Les qualificatifs suivant sont employés pour les angles prenant des valeurs intermédiaires entre ces valeurs remarquables

  • l'angle rentrant est un angle supérieur à l'angle plat ;
  • l'angle saillant est un angle inférieur à l'angle plat ;
  • un angle saillant est obtus lorsqu'il est supérieur à l'angle droit ;
  • il est aigu lorsqu'il est inférieur à l'angle droit.

Pour qualifier les valeurs relatives de deux angles, on emploie les expressions suivantes :

  • deux angles sont complémentaires quand leur somme fait 90 ° ; si deux angles sont complémentaires, chacun est dit être le complément de l'autre ;
  • deux angles sont supplémentaires quand leur somme fait 180 °.

On emploie encore d'autres expressions pour qualifier la position des angles sur une figure, c'est-à-dire plus justement, la position relative de secteurs angulaires.

  • Deux secteurs angulaires sont opposés par le sommet, lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement de ceux de l'autre. Dans ce cas les angles correspondants sont égaux.
  • Deux secteurs angulaires sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et que leur intersection est égale à ce côté commun. Les angles s'ajoutent lorsqu'on considère la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et...) de ces secteurs.
  • Les angles alternes-externes et les angles alternes-internes sont formés par deux droites coupées par une sécante. Ces angles ont la même mesure lorsque les deux droites sont parallèles.

Remarque : deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : Par exemple, dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la...) ABE rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) en B, les angles  et Ê sont complémentaires.

Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des vecteurs, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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