Axiome - Définition

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Introduction

Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l'Antiquité, un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) était une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est...) de preuve.

Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant « considéré comme digne », lui-même dérivé de αξιος (axios), signifiant « digne ».

Description

Épistémologique

En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot axiome a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes.

Mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...)

En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...). L'axiome est utilisé désormais, en logique mathématique (La logique mathématique, ou logique formelle, est une discipline des mathématiques qui...), pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...). L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique ou théorie axiomatique. Cette axiomatique doit être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. Cette axiomatique définit la théorie ; ce qui signifie que l'axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie, on dit alors que cette théorie est consistante. Un axiome représente donc plutôt un point (Graphie) de départ dans un système de logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),...) et il peut être choisi arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de son interprétation. En réalité, c'est de la non cohérence de son interprétation que vient la réfutation de la théorie non-contradictoire et, par voie de conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la physique théorique (La physique théorique est la branche de la physique qui étudie l’aspect...). Des axiomes servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) de base élémentaire pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) système de logique formelle. Par exemple, on peut définir une arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) simple, comprenant un ensemble de 'nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...)' et une loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux...) + à cet ensemble, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) :

  1. un nombre noté 0 existe
  2. tout nombre X a un successeur noté succ(X)
  3. X+0 = X
  4. succ(X) + Y = X + succ(Y)

Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes.

En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 : succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit:

succ(X) = X + 1 (axiome 4 et 3)

et

1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))
1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4
1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))
1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0))
1 + 2 = 2 + 1 = succ(2) + 0 = 0 + succ(2) Axiome 4
1 + 2 = 3 = 0 + 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3)
0 + 1 = 1 + 0 = 1 Axiome 4 et 3 (1+0=1)
X+ succ(X)=succ(X) +X pour tout X Axiome 4.

Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome.

Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1 postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne).

Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié...) de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...) est basée essentiellement sur une affirmation que la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) donne à l'espace une courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...), c'est-à-dire que l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) n'est pas euclidien.

Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du XIXe siècle et dans des développements semblables, par exemple en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois a montré que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique.

Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née.

Au XXe siècle, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet...) de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisante pour déduire le principe de récurrence sur les entiers ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée à l'intérieur du système) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

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