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Carré

Introduction

Un carré.

Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) et un losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de...).

Le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un losange.) possède de nombreuses propriétés de symétrie et de régularité. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) carré a quatre axes de symétrie et est invariant par des rotations d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) droit. Deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires, de même que ses diagonales. Ces propriétés sont connues depuis la plus haute Antiquité. Les premières représentations du carré datent de la préhistoire. Il est, avec le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur...), l'une des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une iconographie identitaire.) remarquables les plus étudiées depuis l'Antiquité, le problème de la quadrature du cercle ayant tenu en haleine (L'haleine est l'air qui est chassé des poumons d'un sujet au moment de l'expiration, et qui s'exhale par la bouche.) de nombreux mathématiciens pendant deux millénaires.

Le « carré d'un nombre » désigne également le produit de ce nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) par lui-même. Il est noté a × a = a2 et se lit « a au carré » ou « a carré ». Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre étant vu comme la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) d'un carré de côté le nombre initial.

Propriétés

Un carré est à la fois un losange et un rectangle, il possède donc les propriétés de ces deux quadrilatères. Il peut également être vu comme un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et...) régulier, ce qui permet de démontrer ses propriétés par déduction de celles de ces polygones.

Angles et côtés

Un carré possède quatre angles droits (comme tout un rectangle) et tous ses côtés ont la même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) (il est un losange). Les côtés opposés d'un carré sont parallèles deux à deux, ce qui en fait un cas particulier de parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.).

Diagonales

Un carré noté ABCD avec ses diagonales.

Comme parallélogramme particulier, tout carré possède des diagonales qui se coupent en leur milieu. Ce point (Graphie) d'intersection est appelé le centre du carré. Notons-le O. Les diagonales de tout rectangle — et donc de tout carré — ont la même longueur. Donc il existe un cercle de centre O passant par les quatre sommets du carré. Le rayon de ce cercle est égal à la longueur d'une demi-diagonale.

Les diagonales de tout carré sont perpendiculaires, comme celles de tout losange.

Chaque diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés...) partage le carré en deux triangles qui sont à la fois rectangles et isocèles. Les deux diagonales ensembles délimitent dans le carré quatre triangles rectangles isocèles.

Mesures

Tous les carrés sont semblables. Cela signifie que, pour deux carrés donnés, il existe toujours un agrandissement (ou une réduction) permettant de transformer l'un en l'autre en conservant les angles géométriques et les proportions. On peut donc définir entièrement un carré par la longueur c de ses côtés.

L'aire d'un carré est c×c = c2. Son périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) mesure 4c et chaque diagonale mesure c√2.

Le carré est, parmi les quadrilatères de même périmètre, celui qui possède la plus grande surface. Cette figure est la réponse à la question d'isopérimétrie dans les quadrilatères.

Dimensions d'un carré de côté c et de diagonale d
Diagonale c \sqrt2
Côté \dfrac{d\sqrt2}{2}
Périmètre 4c = 2\sqrt2 d
Aire c^2 = \frac{1}{2}d^2
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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Lundi 23 Octobre 2017 à 12:00:17 - Physique - 0 commentaire
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