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Chiffre

Introduction

Dix chiffres

Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.

Histoire, étymologie et définition

Bien qu'appelés communément "chiffres arabes (Les chiffres arabes, qui furent d'abord utilisés en France puis dans toute l'Europe et enfin dans le monde entier, ont été empruntés aux Arabes, qui les avaient eux-mêmes...)", les Indiens connaissaient et utilisaient déjà un système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.) proche de celui que nous connaissons aujourd'hui. Ce n’est que bien plus tard, à la suite de conquêtes en Asie (L'Asie est un des cinq continents ou une partie des supercontinents Eurasie ou Afro-Eurasie de la Terre. Il est le plus grand continent (8,6 % de la surface totale...), que les mathématiciens musulmans découvrirent ce système. De même, le concept du zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...), en tant qu'élément neutre de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de...) et élément absorbant de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), était déjà utilisé par la pensée mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) indienne.

Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés en Inde. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au 3e siècle av.J.-C. La numération de position avec un zéro (un simple point (Graphie) à l’origine), a été développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) au cours du 5e siècle. Dans un traité de cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.) en sanscrit de 458, on voit apparaître le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) 14 236 713 écrit en toute lettres. On y trouve aussi le mot “sunya” (le vide), qui représente le zéro. C’est à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par...) le document (Dans son acception courante un document est généralement défini comme le support physique d'une information.) le plus ancien faisant référence à cette numération.

Au Xe siècle, le moine français Gerbert d’Aurillac apprit la nouvelle numération et, grâce aux chaires qu’il occupait dans les établissement religieux d’Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire...), put introduire le nouveau système en Occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement l'Europe. L'extension de l'espace considéré a varié au cours de l'Histoire. À une période donnée, elle peut...). En 999, il fut élu pape sous le nom de Sylvestre II, ce qui lui conféra l’autorité nécessaire pour implanter la numération indo-arabe.

Le mot « chiffre » (chiffre 1486, Commyne) est un mot refait d'après l'italien cifra, l'ancien français avait cifre (cifre 1220, Coincy), issu du latin médiéval cifra lui-même emprunté à l'arabe sifr (أَلصِّفْر ʾaṣ-ṣifr), utilisé pour « zéro » et signifiant « le vide », le "rien".

Les chiffres arabes font partie des écritures de type logographique. C'est-à-dire le symbole « 1 » se prononce de façon différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité...) dans chaque langue, mais représente le même élément abstrait et reste donc compréhensible sous sa forme écrite.

Dans un système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces derniers...) donné, si la base est un nombre entier, le nombre de chiffres requis est toujours égal à la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) de la base.

Il arrive parfois qu'on confonde chiffre et nombre. Pour bien comprendre la différence entre les deux, on peut faire l'analogie avec l'écriture d'une langue en affirmant que les chiffres sont des lettres et que les nombres sont des mots. Ainsi, 13 (treize) est un nombre qui s'écrit avec les chiffres « 1 » et « 3 ». Comme un mot peut être constitué d'une seule lettre, tel que le mot « a » (le verbe « avoir » conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire...) à la troisième personne de l'indicatif présent), un chiffre est également un nombre (le nombre 4 (quatre) s'écrit avec seulement le chiffre « 4 »). En démographie (La démographie (en grec δημογραφία, de l'ancien grec δήμος = demos signifiant « peuple » et de...), on utilise cependant le mot « chiffre » avec le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement...) de « nombre » ; par exemple, on parlera des « chiffres de la population » et non des « nombres de la population ».

En système décimal, les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Mathématiques

En mathématiques, on utilise ordinairement les dix chiffres arabo-indiens, dits « arabes » (bien qu’il en existe de nombreuses variantes graphiques dans le monde (Le mot monde peut désigner :), et que la graphie des chiffres utilisés dans les langues européennes a aussi connu des évolutions, la forme moderne la plus courante telle qu'on l’utilise aujourd'hui par exemple en français étant appelée les chiffres « arabo-européens », tandis que d’autres formes sont plus communément employées dans les langues à écriture arabe), pour représenter les nombres, comme les entiers naturels ou les nombres réels.

Dans les systèmes de numération positionnels, on utilise une base n normalement fixe, et il suffit alors de n chiffres pour représenter tous les nombres entiers.

  • Si n est inférieur à dix, on utilise généralement les n premiers chiffres arabo-indiens, à partir de 0.
  • Si n est strictement supérieur à 10, on utilise les chiffres de 0 à 9, et on poursuit généralement avec les (n−10) lettres de l’alphabet latin à partir de A (pour les bases de numération entre 11 et 36) ; toutefois ce choix est arbitraire, et d’autres langues écrites dans des écritures différentes peuvent utiliser soit des chiffres supplémentaires (propres à cette écriture, certaines écritures pouvant avoir plus de 10 chiffres distincts), soit des lettres de leur propre alphabet, soit encore des signes diacritiques modifiant la valeur des chiffres ou lettres.
  • Le système décimal est le système par défaut, pour lequel les dix chiffres suivants sont employés :
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  • Dans le système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent...), il n'existe que deux chiffres, qui sont représentés par les caractères 0 et 1.
    Le système binaire est souvent utilisé pour représenter des valeurs telles que « vrai » et « faux », « tout » et « rien », « marche » et « arrêt ». Il convient notamment pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement...).
  • Les chiffres du système hexadécimal (Le système hexadécimal est un système de numération utilisant la base 16.) sont
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (la casse des lettres est non significative).
    et valent respectivement, dans le système décimal, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Pour les systèmes de numération dont la base est variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) ou supérieure à 36, on exprime le plus souvent les nombres dans cette base sous forme d’une suite d’entiers avec un séparateur conventionnel entre eux. C'est le cas pour :

  • la notation des heures (L'heure est une unité de mesure  :) (à base variable et dont certains chiffres sont exprimés en base 60),
  • la notation des dates (qui utilisent des bases variables fondées sur des règles de calcul compliquées, corrigées périodiquement mais de façon non totalement prévisible par des mesures astronomiques ou des conventions légales ou culturelles).
  • Le choix du séparateur de chiffres dans ces systèmes est aussi fortement lié à des conventions culturelles.

Tous les systèmes de numération ne sont pas à base fixe, et certains ne contiennent pas de chiffre zéro. De plus, indépendamment de la base de numération, certains chiffres peuvent être représentés par un ou plusieurs symboles, et même voir leur valeur modifiée selon leur position relative dans le nombre. De tels systèmes sont dits « non positionnels » * Ces anciens systèmes traditionnels ne permettent d’exprimer que les seuls nombres ordinaux). Des exemples typiques de système où les nombres de 0 à 9 ne sont pas tous représentés par un unique chiffre sont :

  • Le système unaire (Le système unaire aussi appelé système monadique est le système de numération additif le plus simple pour représenter les entiers naturels. Ainsi pour représenter un nombre N, il suffit de répéter N...) (le plus ancien utilisé par l’humanité) qui n’utilise qu’un seul chiffre (généralement un simple bâton, ou le seule chiffre 1) pour exprimer tous les nombres ordinaux de façon additive.
  • Le système des « chiffres romains », qui utilise en fait les lettres latines :
    I, V, X, L, C, D, M
    et qui valent respectivement 1, 5, 10, 50, 100, 500, {{formatnum:1000} uniquement lorsqu’elles sont employées seules. Ce système de numération ne permet pas de représenter le zéro.
  • De tels systèmes étaient communs dans l’Antiquité et même au delà jusqu’au Moyen-Âge (avant l’invention du zéro par les anciennes civilisations indiennes et son importation, souvent tardive, dans les autres cultures), et sont encore communément utilisés aujourd’hui dans certaines régions. Ils sont dérivés de la notation unaire en remplaçant certains groupes de chiffres par un seul symbole (ou mot) les représentant tous de façon plus commode, le système restant cependant additif par essence même s’il utilise déjà une base de numération (généralement 10, mais d‘autres cultures ont utilisé les bases 12 ou 20).
  • Cependant les chiffres romains ont introduit une notion d’ordre nécessaire pour interpréter la valeur d‘un nombre selon la position de ses chiffres, en leur conférant une valeur soit positive soit négative, selon la grandeur des chiffres suivants (sans pour autant pouvoir exprimer les nombres négatifs ou nuls).

Dans la grande majorité des notations (culturelles, mathématiques ou à usage scientifique), le signe des nombres n’est pas représenté par les chiffres eux-mêmes, mais par l’adjonction d’un signe multiplicatif modifiant la valeur du nombre entier exprimé en chiffres (dont l’interprétation reste positive) : le plus souvent on emploie les signes + et − (mais en géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê...), on emploie le plus souvent des lettres pour noter une direction nord/sud ou est/ouest, et les comptables leur préfère souvent les parenthèses dans les livres de comptes écrits ou imprimés). Cependant, il existe aussi des systèmes balancés, employant des chiffres signés.

  • Le système trinaire balancé utilise les chiffres 1, 0, 1.
    Il est adapté pour représenter les booléens dont les valeurs sont « vrai », « faux » et « indéterminé », et est pratique pour l'informatique, car il évite l'ajout d'un chiffre supplémentaire pour indiquer le signe d'un nombre. Dans un tel système, les nombres positifs et négatifs bénéficient de la même représentation.

D’autre part, des chiffres supplémentaires sont nécessaires pour exprimer des nombres dans des systèmes dont la base n’est pas unidimensionelle. Par exemple, pour noter les nombres complexes, un chiffre supplémentaire i est introduit (chiffre dit « imaginaire », parfois noté j dans les formules utilisées dans d’autres sciences comme l’électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité désigne également la...), l’électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse...) et le traitement du signal) et s'emploie comme une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) multiplicative, combinable par des opérations arithmétiques simples pour exprimer le nombre complexe quelconque. Dans d’autre cas, on lui préfère une notation algébrique sous forme de couple (aussi utilisée pour noter les coordonnées).

En arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des...) également, on peut représenter les nombres de nombreuses autres façon, par exemple par la suite des exposants dans la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont...) d’un nombre entier sous forme de produit de puissances de nombre premiers : le nombre de chiffres nécessaires dans un tel système n'étant pas limité, il est nécessaire d’utiliser un séparateur entre les chiffres qui eux-mêmes sont des nombres entiers qui sont exprimés sous forme positionnelle dans une base fixe.

Enfin, tous les chiffres utilisés dans certaines cultures ne sont pas nécessairement entiers. Certaines écritures (par exemple tibétaine) contiennent des chiffres dont la valeur est réduite d’une demi-unité, et des chiffres peuvent exprimer aussi diverses fractions de l’unité dans de nombreuses cultures indiennes.

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