En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
La continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) est associée à la notion de continuum dont l'origine est géométrique. Dans un continuum géométrique, comme le plan ou l'espace, un point (Graphie) peut se déplacer continument pour s'approcher à une précision arbitraire d'un autre point. La notion de continuité est définie de manière rigoureuse en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...).
Le premier exemple de fonctions continues concerne des fonctions réelles définies sur un intervalle et dont le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) peut se tracer sans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion (la fonction ne saute pas) mais n'est pas suffisante pour la définir, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, telle par exemple la fractale (On nomme figure fractale ou "fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais...).
Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entre espaces métriques ou entre espaces topologiques sous une forme locale et sous une forme globale.
L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :), théorème des valeurs intermédiaires (Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème important en analyse et concerne des...), théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) des bornes, application lipschitzienne, intégrabilité).
Définition — Soient I un intervalle réel, et .
La fonction f est dite continue en a si :
Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a).
Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de a tel que ƒ(x) soit à une distance inférieure à ε de ƒ(a).
C'est l'idée du seuil, ε, fixé à l'avance qui est importante. Cette définition, fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine....) des efforts des mathématiciens du XIXe siècle pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité, peut sembler à bon droit violente. En analyse non standard (La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au XVIIe siècle mena à l'introduction...), une approche plus intuitive est possible : on dira que f est continue en si est infiniment petit quand est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniment petits et cette définition ne s'applique qu'aux fonctions dites standards.
La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques(voir plus bas) permet elle aussi de se débarrasser des , au prix du formalisme de la topologie générale.
La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles
La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.
Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison linéaire (En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre...) (i.e. pour tous α, β réels et f, g fonctions réelles continues, on a que α.f + β.g est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des fonctions continues une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) sur le corps des réels.