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Continuité

Introduction

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La Wikiversité possède des cours sur « Limites d'une fonction ».

En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).

La continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations...) est associée à la notion de continuum dont l'origine est géométrique. Dans un continuum géométrique, comme le plan ou l'espace, un point (Graphie) peut se déplacer continument pour s'approcher à une précision arbitraire d'un autre point. La notion de continuité est définie de manière rigoureuse en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...).

Le premier exemple de fonctions continues concerne des fonctions réelles définies sur un intervalle et dont le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) peut se tracer sans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion (la fonction ne saute pas) mais n'est pas suffisante pour la définir, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, telle par exemple la fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme...).

Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entre espaces métriques ou entre espaces topologiques sous une forme locale et sous une forme globale.

L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :), théorème des valeurs intermédiaires (Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.), théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une...) des bornes, application lipschitzienne, intégrabilité).

Définition pour les fonctions réelles

Exemple d'une fonction continue sur l'intervalle I
Exemple d'une fonction non continue sur l'intervalle I
\lim_{x\to 2 \atop x<2}f(x) = 2 \ne f(2) f n'est pas continue à gauche en 2.
\lim_{x\to 2 \atop x>2}f(x) = 3 = f(2) f est continue à droite en 2.

Définition —  Soient I un intervalle réel, f : I \to \R et  a \in I.

La fonction f est dite continue en a si :

 \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in I \quad \Big[|x - a| \leq \eta \implies |f(x) - f(a)| \leq \varepsilon\Big]

Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a).

Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) de a tel que ƒ(x) soit à une distance inférieure à ε de ƒ(a).

  • Si la continuité est valable uniquement à droite (pour x>a), on dit que f est continue à droite en a. De même à gauche pour a.
    Dire que f est continue en a revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en a.
  • La fonction ƒ est dite continue (sur I) si elle est continue en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point a de I.
    Une fonction qui présente des « sauts » est discontinue. La notion de saut est illustrée sur la figure ci-contre, elle correspond à l'existence d'une limite à droite et d'une limite à gauche qui ne valent pas la même chose.

Commentaire

C'est l'idée du seuil, ε, fixé à l'avance qui est importante. Cette définition, fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine. Caractéristique des Angiospermes, il succède à la fleur par...) des efforts des mathématiciens du XIXe siècle pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité, peut sembler à bon droit violente. En analyse non standard (La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au XVIIe siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. Leibniz ou Euler en firent grand usage....), une approche plus intuitive est possible : on dira que f est continue en a\, si f(x)-f(a)\, est infiniment petit quand x-a\, est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniment petits et cette définition ne s'applique qu'aux fonctions dites standards.

La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques(voir plus bas) permet elle aussi de se débarrasser des \epsilon\,, au prix du formalisme de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) générale.

Exemples

  • Une grande partie des fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins connues dans le secondaire, et sont toutes définies sur R ou un sous-ensemble de...) sont continues sur leur intervalle de définition : fonctions polynômes, rationnelles, exponentielles, logarithmes, hyperboliques, trigonométriques, racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé...), racine cubique (En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c'est-à-dire multiplié par lui-même trois fois) vaut y ; en d'autres termes, y =...), valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.).
  • La fonction carré : \R \to \R, x\mapsto x^2 est continue.
  • La fonction partie entière sur les réels est discontinue : on « lève le crayon » en arrivant à chaque entier.
  • Une fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) dérivable en un point est continue en ce point. Par contre la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse (par exemple la fonction racine carrée est continue en 0, mais n'y est pas dérivable, tout comme la fonction valeur absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus généralement...) continue en 0 mais non dérivable en ce point).
  • Une fonction réelle peut n'être continue en aucun point : c'est le cas de 1_\mathbb{Q}, la fonction indicatrice de \mathbb{Q} qui vaut 1 en tout point rationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que pour tracer cette fonction, d'une part il faudrait « lever le crayon » une infinité de fois par intervalle, et surtout, pas une seule fois on ne pourrait tracer de ligne de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) non nulle.

Propriétés

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles

  • est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme f(x) = m (voir théorème des valeurs intermédiaires)
  • simplifie le calcul de limites car \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire (i.e. pour tous α, β réels et f, g fonctions réelles continues, on a que α.f + β.g est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des fonctions continues une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) sur le corps des réels.

Des erreurs à éviter

  • Une fonction dérivable en un point est continue sur ce point, la réciproque est fausse.
Contre exemple : la fonction f(x)=\sqrt[]{x} est continue en 0 mais non dérivable en 0 (voir dérivabilité).
  • Contrairement à ce qui en est parfois dit, des fonctions telles que f : x \mapsto 1/x ou tan sont bel (Nommé en l’honneur de l'inventeur Alexandre Graham Bell, le bel est unité de mesure logarithmique du rapport entre deux puissances,...) et bien continues. L'erreur est généralement renforcée par l'absence de précision sur le domaine de définition des fonctions manipulées. Dans le cas de f, on peut supposer que le domaine considéré est \mathbb{R}^*. La question de la continuité en 0 n'a donc a priori pas de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) puisque 0 \not\in \mathbb{R}^*. Affirmer que f n'est pas continue en 0 est un abus de langage pour indiquer que f n'est pas continument prolongeable en 0 (aucun des prolongements possibles ne conserve la continuité).
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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