Courbe - Définition

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Introduction

En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.

La notion générale de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) se décline en plusieurs objets mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de dimension 1. Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe :

  • une courbe peut être décrite par un point (Graphie) qui se meut suivant une loi déterminée. La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) d'une valeur du paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 1 ;
  • une courbe peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) comme un domaine du plan ou de l'espace qui vérifie un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel.

Ainsi une courbe plane peut être représentée dans un repère cartésien par la donnée de lois décrivant abscisse et ordonnée en fonction du paramètre (équation paramétrique)

\begin{cases}x&=\xi(t)\\ y &=\eta(t)\end{cases},

ou encore par la donnée d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) cartésienne, ou implicite : F(x,y)=0\,

Première approche des invariants associés aux courbes

La géométrie différentielle (En mathématique, la géométrie différentielle est l'application des outils du...) a pour objectif d'associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. Les plus intéressants sont ceux qui sont attachés à la courbe, indépendamment de la façon dont elle est parcourue : on définit notamment la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'un arc de courbe, et les concepts de tangente à la courbe, de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...).

Tangente à la courbe

La tangente est limite des sécantes

On commence par définir la droite sécante (En géométrie, la position relative de deux droites, ou d'une droite et d'une courbe, peut être...) entre deux points M et N de la courbe : c'est la droite qui les relie. La tangente en M peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M.

La tangente en M est également la droite « la plus proche possible » de la courbe au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) de M. C'est ce qui explique la proximité entre la notion géométrique de tangente à une courbe, et de dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) d'une fonction, ou encore de développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0,...) à l'ordre 1 d'une fonction.

La courbe reste très souvent d'un seul côté de sa tangente, au moins au voisinage du point M. Cependant, en certains points particuliers, appelés points d'inflexion elle traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de...) sa tangente.

Cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) osculateur et courbure

Cercle osculateur

On peut également définir le cercle osculateur de la courbe au point M comme le cercle « le plus proche possible » de M, au voisinage de M. On peut montrer que ce cercle embrasse mieux la courbe que ne le fait la tangente, d'où le mot osculateur (dont l'étymologie est « petite bouche »). Mais pour donner un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) précis à cette affirmation il faut introduire la notion de contact.

Le centre du cercle osculateur est appelé centre de courbure, son rayon rayon de courbure. La courbure est, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...), l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) du rayon de courbure. La courbure au point M est d'autant plus forte que la courbe effectue en M un virage serré.

Torsion (La torsion est la déformation subie par un corps soumis à l'action de deux couples opposés...) d'une courbe gauche et généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...)

La tangente décrit bien le comportement de la courbe au premier ordre : la tendance globale de la courbe est d'avancer dans la direction de sa tangente. Le cercle osculateur et la courbure donnent un comportement de deuxième ordre, venant préciser l'information précédente, en donnant la tendance à tourner d'un côté ou de l'autre de la tangente.

Pour les courbes de l'espace à trois dimensions, il est possible d'aller plus loin. La courbe, à l'ordre deux, a tendance à avancer en tournant en restant dans le plan contenant le cercle osculateur (appelé plan osculateur). Une correction, d'ordre 3, vient s'ajouter, qui correspond à une tendance à s'écarter du plan osculateur. L'invariant correspondant est la torsion de la courbe. La torsion est donc ce qui fait que la courbe est non plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...).

Il serait possible de poursuivre plus avant avec des courbes dans des espaces de dimension supérieure à trois, et une famille d'invariants généralisant courbure et torsion, et qui décrivent la courbe à des ordres d'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) de plus en plus grands. Enfin, tous ces calculs, pour être réalisés, demandent la vérification d'un certain nombre de conditions de régularité des fonctions, et l'exclusion de points ayant un comportement exceptionnel.

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