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Cube

Introduction

Cube
Cube

Type Polyèdre régulier
Faces Carré
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
6
12
8
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 4
Isométries Oh
Dual Octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six...)
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou...),
zonoèdre

En géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de...), un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « hexaèdre régulier ».

L'étymologie du terme cube est grecque ; cube provient de kubos, le dé.

Le terme de cube, appliqué à un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale,...) géométrique était omniprésente, le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) d'un nombre était vu comme la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure,...) d'un carré de côté le nombre initial et le cube d'un nombre comme le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) d'un cube de côté le nombre initial . L'expression « a3 » peut se lire « a au cube » et « a cube ».

Le squelette (Le squelette est une charpente animale rigide servant de support pour les muscles. Il est à la base de l'evolution des vertébrés. Celui ci leur a fourni un avantage sélectif...) du cube, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) appelé graphe hexaédrique.

Géométrie

Cube svg int.svg

Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. De plus :

  • Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
  • Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
  • Tous les angles dièdres sont droits.
  • Les diagonales s'intersectent en un unique point (Graphie), le centre de symétrie du cube, l'isobarycentre des huit sommets.

Mais par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) ses arêtes sont toutes de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) égale, disons a. Ses faces sont donc des carrés, de même superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un...), égale à a². De fait :

  • son aire vaut donc 6 × a² ;
  • son volume vaut a³ ;
  • la longueur d'une diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) vaut a\sqrt{3} ;
  • la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé...) circonscrite a donc pour rayon \frac a2 \sqrt{3} ;
  • la sphère tangente aux arêtes a pour rayon \frac a2\sqrt{2} ;
  • la sphère inscrite a pour rayon \frac a2 ;
  • l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) entre la diagonale et chacun des plans adjacent vaut \arctan\left(\frac 1\sqrt{2}\right) \simeq 35.26^\circ.

C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre.

Groupe des isométries

Le cube est l'un des polyèdres offrant le plus de symétries :

  • 3 axes de rotation d'ordre 4 : axes passant par le centre de deux faces opposées ;
  • 6 axes de rotations d'ordre 2 : axes passant par le milieu de deux arêtes opposées ;
  • 4 axes de rotation d'ordre 3 : axes passant par deux sommets opposés ;
  • la symétrie de centre O ;
  • 9 plans de symétrie : 3 plans médiateurs des arêtes, 6 plans passant par deux arêtes opposées.

Une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) du cube est entièrement définie par l'image d'un sommet et des trois arêtes issues de ce sommet (repère de l'espace). Ce sommet peut avoir pour image l'un quelconque des 8 sommets du cube. La première arête a alors 3 images possibles, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une...) arête deux images seulement et l'image de la dernière arête est alors déterminée. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × 2 = 48. Ces isométries se partagent en 24 isométries positives et 24 isométries négatives. Les isométries positives possèdent toutes le point O comme invariant : on dénombre alors 23 rotations plus l'identité.

On retrouve alors les axes de rotations précédents :

  • 3 axes de rotation générant 3 rotations d'angle non nul, soit 9 rotations ;
  • 6 axes de rotation générant 1 rotation d'angle plat, soit 6 rotations ;
  • 4 axes de rotation générant 2 rotations d'angle non nul, soit 8 rotations.

ainsi que les 9 symétries par rapport à un plan générées par les 9 rotations d'angle plat composées avec la symétrie de centre O.

Ce qui prouve que l'inventaire était bien exhaustif.

Ce groupe est le plus vaste de ceux des polyèdres réguliers qui peuvent paver l'espace. L'analyse associée se trouve dans l'article réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on appelle nœud (node)...) (géométrie).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

La liste des auteurs de cet article est disponible ici.