Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Cube

Introduction

Cube
Cube

Type Polyèdre régulier
Faces Carré
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
6
12
8
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 4
Isométries Oh
Dual Octaèdre
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou...),
zonoèdre

En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « hexaèdre régulier ».

L'étymologie du terme cube est grecque ; cube provient de kubos, le dé.

Le terme de cube, appliqué à un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre était vu comme la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique,...) d'un carré de côté le nombre initial et le cube d'un nombre comme le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) d'un cube de côté le nombre initial . L'expression « a3 » peut se lire « a au cube » et « a cube ».

Le squelette (Le squelette est une charpente animale rigide servant de support pour les muscles. Il est à la base de l'evolution des vertébrés. Celui ci leur a fourni un avantage sélectif conséquent...) du cube, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) appelé graphe hexaédrique.

Géométrie

Cube svg int.svg

Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. De plus :

  • Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
  • Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
  • Tous les angles dièdres sont droits.
  • Les diagonales s'intersectent en un unique point (Graphie), le centre de symétrie du cube, l'isobarycentre des huit sommets.

Mais par définition ses arêtes sont toutes de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) égale, disons a. Ses faces sont donc des carrés, de même superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par...), égale à a². De fait :

  • son aire vaut donc 6 × a² ;
  • son volume vaut a³ ;
  • la longueur d'une diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) vaut a\sqrt{3} ;
  • la sphère circonscrite a donc pour rayon \frac a2 \sqrt{3} ;
  • la sphère tangente aux arêtes a pour rayon \frac a2\sqrt{2} ;
  • la sphère inscrite a pour rayon \frac a2 ;
  • l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) entre la diagonale et chacun des plans adjacent vaut \arctan\left(\frac 1\sqrt{2}\right) \simeq 35.26^\circ.

C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre.

Groupe des isométries

Le cube est l'un des polyèdres offrant le plus de symétries :

  • 3 axes de rotation d'ordre 4 : axes passant par le centre de deux faces opposées ;
  • 6 axes de rotations d'ordre 2 : axes passant par le milieu de deux arêtes opposées ;
  • 4 axes de rotation d'ordre 3 : axes passant par deux sommets opposés ;
  • la symétrie de centre O ;
  • 9 plans de symétrie : 3 plans médiateurs des arêtes, 6 plans passant par deux arêtes opposées.

Une isométrie du cube est entièrement définie par l'image d'un sommet et des trois arêtes issues de ce sommet (repère de l'espace). Ce sommet peut avoir pour image l'un quelconque des 8 sommets du cube. La première arête a alors 3 images possibles, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) arête deux images seulement et l'image de la dernière arête est alors déterminée. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × 2 = 48. Ces isométries se partagent en 24 isométries positives et 24 isométries négatives. Les isométries positives possèdent toutes le point O comme invariant : on dénombre alors 23 rotations plus l'identité.

On retrouve alors les axes de rotations précédents :

  • 3 axes de rotation générant 3 rotations d'angle non nul, soit 9 rotations ;
  • 6 axes de rotation générant 1 rotation d'angle plat, soit 6 rotations ;
  • 4 axes de rotation générant 2 rotations d'angle non nul, soit 8 rotations.

ainsi que les 9 symétries par rapport à un plan générées par les 9 rotations d'angle plat composées avec la symétrie de centre O.

Ce qui prouve que l'inventaire était bien exhaustif.

Ce groupe est le plus vaste de ceux des polyèdres réguliers qui peuvent paver l'espace. L'analyse associée se trouve dans l'article réseau (géométrie).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

La liste des auteurs de cet article est disponible ici.