En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de règles de déduction. La proposition une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations. En ce cas, on la nomme généralement lemme. Dans toute situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) où les propositions initiales sont vraies, la proposition démontrée devrait être vraie ; on ne pourrait la remettre en cause qu'en remettant en cause une ou plusieurs des propositions initiales ou le système de règles de déduction lui-même.
Cette description peut s'avérer idéale. Il arrive qu'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) s'appuie partiellement sur l'intuition, géométrique par exemple, et donc que toutes les propriétés admises, les axiomes, ne soient pas explicites. Les démonstrations de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) que l'on peut trouver dans les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) sont par exemple considérées encore aujourd'hui comme des modèles de rigueur, alors qu'Euclide s'appuie en partie sur des axiomes implicites, comme l'a montré David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale –...) dans ses « fondements de la géométrie ». Par ailleurs, les démonstrations des mathématiciens ne sont pas formelles et une démonstration peut être considérée comme correcte dans les grandes lignes, alors que des points resteraient à expliciter en toute rigueur, voire que d'autres sont entachés d'erreurs « mineures ». On rédige une démonstration pour être lue et convaincre les lecteurs, et le niveau de détails nécessaire n'est pas le même suivant les connaissances de ceux-ci. Cependant avec l'avènement des ordinateurs et des systèmes d'aide à la démonstration, des mathématiciens contemporains rédigent des démonstrations qui sont amenées à être vérifiées par des programmes.
Hors du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), en droit par exemple, une démonstration intervient comme un complément de preuves, c'est une suite d'arguments énoncés en vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) d'emporter l'adhésion (En physique, l'adhésion est l'ensemble des phénomènes physico-chimiques qui se...) de l'auditeur ou du lecteur.
Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des dénominations spécifiques.